Τράπεζα Θεμάτων

Ενδεικτική λύση:

Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί τόσο οι δυνάμεις που ασκούνται στην σκιέρ στο οριζόντιο επίπεδο όσο και στην πλαγιά. Στο οριζόντιο τμήμα της διαδρομής η δύναμη \(\vec{F}\) έχει αναλυθεί σε συνιστώσες σε άξονα παράλληλο και κάθετο στο οριζόντιο επίπεδο αντίστοιχα, ενώ στην πλαγιά η \(\vec{F}\) έχει καταργηθεί και η δύναμη του βάρους έχει αναλυθεί σε συνιστώσες σε άξονα παράλληλο και κάθετο στην πλαγιά.

4.1) Οριζόντιο επίπεδο
Για τα μέτρα των δυνάμεων που έχουν σχεδιαστεί υπολογίζουμε:

$$𝐹_𝑥=𝐹\cdot 𝜎𝜐𝜈𝜑=150\ 𝑁$$ $$𝐹_𝑦=𝐹\cdot 𝜂𝜇𝜑=200\ 𝑁$$ $$𝑤=𝑚\cdot 𝑔=500\ 𝑁$$

Στον κατακόρυφο άξονα ισχύει ο 1ος νόμος του Newton, οπότε:

$$∑F_𝑦 =0$$ $$\Rightarrow \vec{N} +\vec{F_𝑦}+ \vec{w}=0$$ $$\Rightarrow 𝑁=𝑤−𝐹_𝑦=300\ 𝑁$$

Μονάδες 6

4.2) Από το νόμο της τριβής, υπολογίζουμε το μέτρο της τριβής στην οριζόντια πίστα:

$$𝛵=𝜇\cdot 𝛮=0,5\cdot 300\ 𝛮=150\ 𝛮$$

Μονάδες 3

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το μέτρο της συνισταμένης δύναμης στον οριζόντιο άξονα λαμβάνοντας ως θετική τη φορά της κίνησης:

$$∑𝐹_𝑥=𝐹_𝑥−𝛵$$ $$=(150−150)𝛮=0$$

Άρα στην οριζόντια πίστα \((ΑΒ)\), η σκιέρ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Μονάδες 3

4.3) Από την εξίσωση κίνησης στην οριζόντια πίστα \((ΑΒ)\) υπολογίζουμε τη χρονική στιγμή που η αθλήτρια τερματίζει (σημείο \(Β\)):

$$\begin{align}𝛥𝑥&=𝜐\cdot 𝛥𝑡\\ 22&=11\cdot (𝑡_1−𝑡_0)\\ 𝑡_1&=\dfrac{22}{11}𝑠\\ t_1&=2𝑠\end{align}$$

Πλαγιά
Για τα μέτρα των δυνάμεων που έχουν σχεδιαστεί υπολογίζουμε:

$$𝑤_𝑥=𝑤\cdot 𝜂𝜇𝜑=400\ 𝑁$$ $$𝑤_𝑦=𝑤\cdot 𝜎𝜐𝜈𝜑=300\ 𝑁$$

Μονάδες 2

Στον άξονα που είναι κάθετος στην πλαγιά ισχύει ο 1ος νόμος του Newton, οπότε:

$$\begin{align}∑\vec{F}_𝑦&=0\\ \vec{N'}+ \vec{w}_𝑦&=0\\ 𝛮'=𝑤_𝑦&=300 𝑁\end{align}$$

Από το νόμο της τριβής, υπολογίζουμε το μέτρο της τριβής στην πλαγιά:

$$𝛵'=𝜇\cdot 𝛮'=0,5\cdot 300\ 𝛮=150\ 𝛮$$

Μονάδες 2

Εφαρμόζουμε το 2ο νόμο του Newton στον άξονα της κίνησης λαμβάνοντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας:

$$\begin{align}∑\vec{F}_𝑥&=𝑚\cdot \vec{α}\\ \Rightarrow −𝛵'−𝑤_𝑥&=𝑚\cdot 𝑎\\ \Rightarrow −550&=50 𝛼\\ \Rightarrow 𝛼&=−11\dfrac{𝑚}{𝑠^2}\end{align}$$

Μονάδες 2

Η σκιέρ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και τελικά ακινητοποιείται. Από την εξίσωση ταχύτητας σε αυτήν την κίνηση υπολογίζουμε τη χρονική στιγμή της ακινητοποίησης:

$$𝜐=𝜐_0+𝛼\cdot 𝛥𝑡$$ $$\Rightarrow 0=11−11\cdot 𝛥𝑡$$ $$\Rightarrow 𝛥𝑡=1\ 𝑠$$ $$\Rightarrow (𝑡_2−𝑡_1)=1\ 𝑠$$ $$\Rightarrow 𝑡_2=3\ 𝑠$$

και από την εξίσωση κίνησης το μήκος \(d\):

$$𝑑=𝜐_0\cdot 𝛥𝑡+\dfrac{1}{2}\cdot 𝑎\cdot 𝛥𝑡^2$$ $$\Rightarrow d=(11−5,5)\ 𝑚=5,5\ 𝑚$$

Άρα, το συνολικό μήκος της διαδρομής θα είναι:

$$(ΑΒ)+(ΒΓ)=(22+5,5)𝑚=27,5 𝑚$$

Μονάδες 2

4.4) Η δύναμη που ασκείται από την πλαγιά στην αθλήτρια κατά τη διάρκεια της κίνησής της σε αυτήν, είναι η συνισταμένη της τριβής \(𝛵'\) και της κάθετης δύναμης επαφής \(𝛮'\) και έχει μέτρο:

$$𝛢=\sqrt{(𝛵')^2+(𝛮')^2}=150\sqrt{5}\ 𝛮$$

Μονάδες 5

Σχόλιο (Οι μαθητές μπορούν να προχωρήσουν, ανάλογα με τη στρατηγική που θα επιλέξουν, στην ανάλυση δυνάμεων και στον υπολογισμό των αντίστοιχων μέτρων σε διάφορα σημεία της λύσης. Για το σωστό σχήμα, την ανάλυση των δυνάμεων και τους σωστούς υπολογισμούς να βαθμολογηθούν μέχρι και με 5 Μονάδες)