Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14601	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14601
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 3

Αν για τον πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει $|2x-1|<1$, τότε:

α) Να δείξετε ότι $0<x<1$.
(Μονάδες 12)

β) Να βάλετε σε αύξουσα διάταξη τους αριθμούς $1,x,x^{2}$.
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|2x-1|<1$$

οπότε:

$$-1<2x-1<1$$

προσθέτουμε στα μέλη της ανίσωσης το $1$ και έχουμε:

$$0<2x<2$$

διαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με το $2$ και τελικά:

$$0 < x < 1$$

β) Από το α) ερώτημα, έχουμε $0<x<1$, οπότε και $0<x^{2}<1$. Πρέπει να βρούμε τη σχέση του $x$ με τον $x^{2}$. Θα πάρουμε τη διαφορά τους $x^{2}-x$ και θα βρούμε το πρόσημό της. Το τριώνυμο $x^{2}-x=x(x-1)$ έχει ρίζες $x_{1}=0$ και $x_{2}=1$. Δεδομένου ότι $0<x<1$, μας ενδιαφέρει το πρόσημο του τριωνύμου στο διάστημα εντός των ριζών του. Στο διάστημα αυτό το τριώνυμο είναι αρνητικό. Δηλαδή $x^{2}-x<0$ για $x\in (0,1)$. Οπότε $x^{2}<x$.

Τελικά, $x^{2}<x<1$.

Εναλλακτικά, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της $0<x<1$ με $x>0$, οπότε προκύπτει: $0<x^{2}<x$ και τελικά $x^{2}<x<1$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).