Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 14655 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 14655 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(A=90^0\)) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη \(x\) και \(y\) τέτοια, ώστε \(x+y=10\).
α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου τριγώνου ως συνάρτηση του \(x\) δίνεται από τον τύπο \(Ε(x)=\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\) με \(x\in (0,10)\).
(Μονάδες 8)
β)
Να αποδείξετε ότι \(Ε(x)\le \dfrac{25}{2}\) για κάθε \(x\in (0,10)\).
(Μονάδες 7)Για ποια τιμή του \(x\) το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(\dfrac{25}{2}\);
(Μονάδες 6)
γ) Αν \(x=5\), ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το είδος του τρίγωνου ως προς τις πλευρές του;
(Μονάδες 4)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Επειδή \(x\) και \(y\) είναι μήκη πλευρών έχουμε \(x>0\) και \(y>0\) με \(x+y=10 \Leftrightarrow y=10-x\).
Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου έχουμε:
$$Ε(x)=\dfrac{1}{2}x\cdot y$$ $$=\dfrac{1}{2}x\cdot (10-x)$$ $$=\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})$$
με \(x\in (0,10)\).
β)
Αρκεί να αποδείξουμε την σχέση \(Ε(x)\le \dfrac{25}{2}\) για κάθε \(x\in (0,10)\), αρκεί:
$$\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\le \dfrac{25}{2}$$ $$\Leftrightarrow 10x-x^{2}\le 25$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}\ge 0$$
ισχύει για \(x\in (0,10)\).
Tο εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(\dfrac{25}{2}\) για \(x=5\) γιατί:
$$Ε(x)=\dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(10x-x^{2})=\dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=5$$
γ) Όταν \(x=5\) τότε \(y=5\), άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).