Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 1
Κωδικός Θέματος: 14731 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 1
Κωδικός Θέματος: 14731
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Αυγ-2023
ΘΕΜΑ 1

Α. Σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σωστό (Σ), αν η πρόταση που διατυπώνεται είναι σωστή και Λάθος (Λ), αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(α\), \(β\ge 0\) ισχύει ότι \(\sqrt{α+β}=\sqrt{α}+\sqrt{β}\).
β) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(α\), \(β\) ισχύει ότι \(|α+β|\le |−α|+|β|\).
γ) Κάθε ευθεία η οποία έχει θετική κλίση, σχηματίζει με τον άξονα \(x'x\) οξεία γωνία.
δ) Η εξίσωση \(x^{3}=−8\) είναι αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς.
ε) Αν είναι \(αβ>1\), τότε θα ισχύει αναγκαστικά \(α>1\) και \(β>1\).

(Μονάδες 15)

Β. Δίνεται η εξίσωση \(ax^{2}+βx+γ=0\), \(α\ne 0\). Αν έχει δύο πραγματικές ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\), τότε να αποδείξετε ότι το άθροισμά τους είναι ίσο με \(x_{1}+x_{2}=\dfrac{−β}{α}\).

(Μονάδες 10)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Α.
α) ΛΑΘΟΣ. Για \(α=9\) και \(β= 16\) έχουμε \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\), ενώ \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25} =5\). Άρα δεν ισχύει η ισότητα για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς \(α\), \(β\).
β) ΣΩΣΤΟ. Ισχύει ότι \(|α|=|-α|\), για κάθε \(α\) πραγματικό αριθμό. Οπότε από την τριγωνική ανισότητα \(|α+β|\le |α|+|β|\), προκύπτει το ζητούμενο.
γ) ΣΩΣΤΟ. Η κλίση μίας ευθείας είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα \(x’x\). Οι οξείες γωνίες έχουν θετική εφαπτομένη, ενώ οι αμβλείες έχουν αρνητική εφαπτομένη.
δ) ΛΑΘΟΣ. Για \(x=-2\) η εξίσωση επαληθεύεται.
ε) ΛΑΘΟΣ. Αν \(α=-1\), \(β=-2\), τότε \(αβ=2>1\).

Β. Δείτε απόδειξη στην παράγραφο 3.3 του σχολικού βιβλίου.