Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14744	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14744
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Να αποδείξετε ότι $x -x^{2}\le \dfrac{1}{4}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$. Πότε ισχύει το ίσον;
(Μονάδες 8)

β) Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιασθεί η γραφική παράσταση $(ε)$ της συνάρτησης $f(x)=1 – x$, $x\in \mathbb{R}$, η οποία τέμνει τους άξονες $x'x$ και $y'y$ στα σημεία $Ε$ και $Δ$ αντίστοιχα. Ένα μεταβλητό σημείο $Α$, με τετμημένη $α$, κινείται επί της ευθείας $(ε)$ και μεταξύ των σημείων $Δ$ και $Ε$. Φέρνουμε από το $Α$ καθέτους στους άξονες και έστω $Β$ και $Γ$ τα σημεία τομής με $y'y$ και $x'x$ αντίστοιχα.

Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου $ΑΒΟΓ$.
(Μονάδες 10)
Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του εμβαδού του μεταβλητού ορθογωνίου $ΑΒΟΓ$ είναι $\dfrac{1}{4}$. Για ποια θέση του σημείου $Α$ επιτυγχάνεται αυτή η τιμή;
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)

$$x -x^{2}\le \dfrac{1}{4} $$ $$\Leftrightarrow x^{2}- x+\dfrac{1}{4}\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}- 2\cdot x\cdot \dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})^{2}\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-\dfrac{1}{2})^{2}\ge 0,\ \ \text{ισχύει}$$

Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν:

$$x -\dfrac{1}{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$$

β)

Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο $Δ$ έχει τετμημένη μηδέν και τεταγμένη $f(0)=1,$ ενώ αν είναι $k$ η τετμημένη του σημείου $Ε$, η τεταγμένη του θα είναι $f(k) =0 = 1 - k$, άρα $k=1$. Ώστε $Δ(0,1)$ και $Ε(1,0)$.

Έστω τώρα ότι $α$ είναι η τετμημένη του σημείου $Α$, με $0\le α\le 1$, οπότε το σημείο $Α$ έχει τεταγμένη $f(α)=1 – α$.

Έτσι έχουμε $Γ(α, 0)$, $Α(α, 1 - α)$, $Β(0, 1- α)$.

Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου $ΑΒΟΓ$ είναι $Ε = α\cdot (1 - α)=α -α^{2}$.
Σύμφωνα με το α) ερώτημα είναι $Ε\le \dfrac{1}{4}$, δηλαδή για οποιαδήποτε τιμή του $α$, το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται το πολύ $\dfrac{1}{4}$. Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν $α=\dfrac{1}{2}$, οπότε σε αυτή την περίπτωση είναι $Α(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$, δηλαδή το $ΑΒΟΓ$ θα γίνει τετράγωνο.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).