Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 15692 | Ύλη: | 2.2. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 15692 |
| Ύλη: | 2.2. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση \(x^2+y^2+y=x+2xy+6\).
α) Να αποδείξετε ότι:
- \((x-y)^2-(x-y)-6=0\).
(Μονάδες 4)
- Η εξίσωση παριστάνει ένα ζεύγος παράλληλων ευθειών, τις οποίες να βρείτε.
(Μονάδες 4)
Έστω \(\varepsilon_1: x-y-3=0\) και \(\varepsilon_2: x-y+2=0\) οι δυο παράλληλες ευθείες.
β) Να αποδείξετε ότι όλα τα σημεία \(M\!\left(\alpha,\,\alpha-\frac{1}{2}\right)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\) ισαπέχουν από τις δυο ευθείες.
(Μονάδες 10)
γ) Να βρείτε την μεσοπαράλληλη των δυο ευθειών.
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) i. Είναι:
\begin{align}&x^2+y^2+y=x+2xy+6\\ \Leftrightarrow\,&x^2+y^2-2xy-x+y-6=0\\ \Leftrightarrow\,&(x-y)^2-(x-y)-6=0\end{align}
που είναι το ζητούμενο.
- Αν θέσουμε \(x-y=u\) τότε η τελευταία εξίσωση γράφεται \(u^2-u-6=0\) και έχει ρίζες τους αριθμούς \(-2\), \(3\) οπότε έχουμε:
- \(u=-2: x-y=-2\Leftrightarrow x-y+2=0\)
- \(u=3: x-y=3\Leftrightarrow x-y-3=0\)
Επομένως η εξίσωση παριστάνει το ζεύγος των ευθειών
$$\varepsilon_1: x-y-3=0\text{ και }\varepsilon_2: x-y+2=0$$
που έχουν το ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, \(\lambda_1=\lambda_2=1\) και είναι παράλληλες μεταξύ τους.
β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \(d(M,\varepsilon_1)=d(M,\varepsilon_2)\).
Είναι:
$$d(M,\varepsilon_1)=\frac{\left|\alpha-\alpha+\frac{1}{2}-3\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}$$
και
$$d(M,\varepsilon_2)=\frac{\left|\alpha-\alpha+\frac{1}{2}+2\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}$$
οπότε \(d(M,\varepsilon_1)=d(M,\varepsilon_2)\).
γ) Το σημείο \(M\) ισαπέχει από τις ευθείες \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) οπότε βρίσκεται πάνω στην μεσοπαράλληλη τους. Επιπλέον καθεμιά από τις \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda=1\), οπότε η μεσοπαράλληλη διέρχεται από το \(M\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda=1\). Άρα η εξίσωση της είναι:
$$y-\alpha+\frac{1}{2}=1\cdot(x-\alpha)\Leftrightarrow y=x-\frac{1}{2}.$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).