Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 1746 | Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 1746 |
| Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Οκτ-2021 | |
ΘΕΜΑ 4
Στο κυρτό εξάγωνο \(ΑΒΓΔΕΖ\) ισχύουν τα εξής: \(\hat{α} =\hat{β} , \hat{γ} =\hat{δ}\) και \(\hat{ε} =\hat{ζ}\) .
α) Να υπολογίςετε το άθροισμα \(\hat{𝛼} + \hat{𝛾} +\hat{𝜀}\) .
(Μονάδες 8)
β) Αν οι πλευρές \(ΑΖ\) και \(ΔΕ\) προεκτεινόμενες τέμνονται στο \(Η\) και οι πλευρές \(ΑΒ\) και \(ΔΓ\) προεκτεινόμενες τέμνονται στο \(Θ\), να αποδείξετε ότι:
- Οι γωνίες \(Α\) και \(Η\) είναι παραπληρωματικές.
(Μονάδες 10) - Το τετράπλευρο \(ΑΘΔΗ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
α)
Ισχύει ότι \(\hat{α}=\hat{β}\), \(\hat{γ}=\hat{δ}\) και \(\hat{ε}=\hat{ζ}\) (1)
Για τις γωνίες του εξαγώνου ισχύει ότι:
\(\hat{α}+\hat{β}+\hat{γ}+\hat{δ}+\hat{ε}+\hat{ζ} = (6 - 2) \cdot 180^0 = 720^0\) , άρα
\(2\hat{α}+ 2\hat{γ} + 2\hat{ε} = 720^0 \Leftrightarrow \hat{α}+\hat{γ}+\hat{ε} = 360^0\) (2)
β)
- Είναι \(\hat{α}+\hat{γ}+\hat{ε}= 360^0\) , άρα και \(\hat{α}+\hat{δ}+\hat{ζ}= 360^0\) (3)
Οι γωνίες \(\hat{ΗΖΕ}, \hat{ζ}\) και \(\hat{HΕZ}\), \(\hat{δ}\) είναι εφεξής και παραπληρωματικές. Άρα \(\hat{ΗΖΕ} +\hat{ζ}= 180^0\) και \(\hat{HEZ} +\hat{ δ }=180^0\) (4)
Στο τρίγωνο \(ΗΖΕ\) ισχύει ότι:
\(\hat{Η}+ \hat{HZE} +\hat{HEZ} =180^0\) , και λόγω των (3) και (4) θα είναι \(\hat{Η}+180^0 - \hat{ζ}+180^0 - \hat{δ}= 180^0\), ή \(\hat{ H}=\hat{ δ}+\hat{ ζ} - 180^0\). Οπότε (λόγω της 3) \(H= 360^0 - \hat{α} - 180^0 \Leftrightarrow \hat{H}+\hat{A}=180^0\) . Δηλαδή οι γωνίες \(A\) και \(H\) είναι παραπληρωματικές. - Οι γωνίες H και A είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των \(ΑΘ\), \(ΗΔ\) που τέμνονται από την \(ΑΗ\) και επίσης είναι παραπληρωματικές. Άρα οι ευθείες \(ΑΘ\), \(ΗΔ\) είναι παράλληλες. Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι και οι ευθείες \(ΑΗ\) και \(ΘΔ\) είναι παράλληλες. Το \(ΑΘΔΗ\) έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).