Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 1770 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 1770 |
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Οκτ-2021 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) με \(Ο\) το κέντρο του. Από την κορυφή \(Δ\) φέρουμε το τμήμα \(ΔΚ\) κάθετο στην \(ΑΓ\) και στην προέκτασή του προς το \(Κ\) θεωρούμε σημείο \(Ε\), ώστε \(ΚΕ= ΔΚ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΕΟ=\dfrac{ΒΔ}{2}\)
(Μονάδες 8)
β) Η γωνία \(\hat{ΔΕΒ}\) είναι ορθή.
(Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο \(ΑΕΒΓ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
α) Στο τρίγωνo \(ΟΔΕ\) το \(OK\) είναι ύψος και διάμεσος, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα \(ΕΟ=ΟΔ\). Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) διχοτομούνται άρα \(ΟΔ=\dfrac{ΒΔ}{2}\). Συνεπώς \(EO=ΟΔ=\dfrac{ΒΔ}{2}\).
β) Στο τρίγωνο \(ΔΕΒ\) είναι: \(EO=\dfrac{ΒΔ}{2}\). Δηλαδή η διάμεσoς \(ΕΟ\) του τριγώνου \(ΔΕΒ\) ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο \(ΔΕΒ\) είναι ορθογώνιο με \(\hat{ΔΕB}=90^0\).
γ) Eίναι \(EB \perp ΔE\) και \(ΓΑ \perp ΔΕ\), άρα \(ΕΒ \parallel ΑΓ\).
Η \(ΑΕ\) τέμνει την \(ΑΔ\) και \(ΑΔ \parallel ΒΓ\) άρα η ευθεία \(ΑΕ\) τέμνει την ευθεία \(ΒΓ\). Συνεπώς το τετράπλευρο \(ΑΕΒΓ\) είναι τραπέζιο.
Στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\) το \(ΑΚ\) είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ισχύει ότι \(AE=AΔ\).
Από το παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) έχουμε \(ΑΔ=ΒΓ\). Άρα \(ΑΕ=ΒΓ\). Συνεπώς το τραπέζιο \(ΑΕΒΓ\) είναι ισοσκελές.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).