Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 18111 | Ύλη: | 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις 4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 18111 |
| Ύλη: | 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις 4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές |
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνονται οι συναρτήσεις \(g(x)=\begin{cases}\sqrt[3]{x}, & \text{όταν } x\geq0\\-\sqrt[3]{-x}, & \text{όταν } x<0\end{cases}\) και \(h(x)=x^3-x,\ x\in\mathbb{R}\).
α)
- Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(h\) είναι περιττή.
(Μονάδες 03)
- Να συμπληρώσετε το παρακάτω σχήμα ώστε να παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(h\).
(Μονάδες 04)
- Χωρίς να χρησιμοποιήσετε το παραπάνω σχήμα, να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(h\) με τον άξονα \(x'x\).
(Μονάδες 08)
β) Αν \(x\geq0\) να αποδείξετε ότι: η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από την ευθεία \(\varepsilon:y=x\) αν και μόνο αν η γραφική παράσταση της \(h\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \(x'x\).
(Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
- Για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) έχουμε ότι:
- \(-x\in\mathbb{R}\) και
- \(h(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-h(x)\)
Επομένως η συνάρτηση \(h\) είναι περιττή.
- Συμπληρώνουμε το συμμετρικό τμήμα της δοθείσας γραφικής παράστασης ως προς την αρχή των αξόνων \(O\).
- Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(h\) με τον άξονα \(x'x\) έχουν τεταγμένη \(y=0\), με \(y=h(x)\).
Είναι
\begin{align}y=0&\Leftrightarrow h(x)=0\\ &\Leftrightarrow x^3-x=0\\ &\Leftrightarrow x(x^2-1)=0\\ &\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x^2-1=0\\ &\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x^2=1\\ &\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x=\pm1\end{align}
Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα \(O(0,0)\), \(A(1,0)\) και \(B(-1,0)\).
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από την ευθεία \(\varepsilon:y=x\) αν και μόνο αν για κάθε \(x\in[0,+\infty)\) ισχύει \(g(x)>x\quad:(A)\).
Για \(x\in[0,+\infty)\) έχουμε: \(g(x)>x\Leftrightarrow\sqrt[3]{x}>x\)
\begin{align}&\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{x}\right)^3>x^3\\ &\Leftrightarrow x>x^3\\ &\Leftrightarrow 0>x^3-x\\ &\Leftrightarrow 0>h(x)\end{align}
Επομένως, ισχύει η \((A)\) αν και μόνο αν \(h(x)<0\) για κάθε \(x\in[0,+\infty)\) και έπεται το ζητούμενο.
Σχόλιο: Μπορούμε να αποδείξουμε και την εξής πρόταση «Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από την ευθεία \(\varepsilon:y=x\) αν και μόνο αν για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει \(g(x)>x\quad:(A)\) ». Αυτό μπορεί να γίνει αν συμπληρώσουμε στη λύση του ερωτήματος (β) τα παρακάτω:
Για \(x\in(-\infty,0)\) έχουμε: \(g(x)>x\Leftrightarrow-\sqrt[3]{-x}>x\)
\begin{align}&\Leftrightarrow\sqrt[3]{-x}<-x\\ &\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{-x}\right)^3<(-x)^3\\ &\Leftrightarrow-x<-x^3\\ &\Leftrightarrow x^3-x<0\\ &\Leftrightarrow h(x)<0\end{align}
Επομένως, ισχύει η \((A)\) αν και μόνο αν \(h(x)<0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) και έπεται το ζητούμενο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).