Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 1815 | Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.10. Τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 1815 |
| Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.10. Τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Οκτ-2021 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) με \(ΑΒ\parallelΓΔ\) και \(ΑΒ = ΑΔ + ΒΓ\). Αν η διχοτόμος της γωνίας \(Δ\) τέμνει την \(ΑΒ\) στο σημείο \(Μ\), να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο \(ΑΔΜ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο \(ΜΒΓ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 9)
γ) Η \(ΓΜ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(Γ\) του τραπεζίου.
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
α) Ισχύουν τα εξής:
\(\hat{ΔΜΑ} = \hat{ΓΔΜ}\), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΒ, ΓΔ\) που τέμνονται από την \(ΔΜ\).
\(\hat{ΑΔΜ} =\hat {ΓΔΜ}\), διότι η \(ΔΜ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Δ}\).
Άρα \(\hat{ΔΜΑ} = \hat{ΑΔΜ}\), οπότε το τρίγωνο \(ΑΔΜ\) είναι ισοσκελές και ισχύει ότι \(AΔ = AM\) (1).
β) Είναι \(AB = ΑΔ + ΒΓ\). Λόγω της (1) είναι \(ΑΒ = ΑΜ + ΒΓ\).
Όμως \(ΑΒ = ΑΜ + ΜΒ\).
Άρα \(ΑΜ + ΒΓ = ΑΜ + ΜΒ \Leftrightarrow ΒΓ = ΜΒ\).
Άρα τρίγωνο \(ΜΒΓ\) είναι ισοσκελές και έχει \(\hat{ΓΜΒ} = \hat{ΜΓΒ}\) (2).
γ) Ισχύουν τα εξής:
\(\hat{ΓΜΒ} =\hat{ ΔΓΜ}\), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΒ, ΓΔ\) που τέμνονται από την \(ΓΜ\).
\(\hat{ΓΜΒ} =\hat{ ΜΓΒ}\) λόγω της (2).
Άρα είναι \(\hat{ΔΓΜ }=\hat{ ΜΓΒ}\), δηλαδή η \(ΓΜ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Γ}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).