Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Αφού η παραβολή \(C: y^2=\alpha\cdot x\) διέρχεται από το σημείο \(M(16,\alpha+4)\) ισχύει:

\begin{align} (\alpha+4)^2 &= 16\alpha \Leftrightarrow \alpha^2+8\alpha+16=16\alpha \\ \Leftrightarrow \alpha^2-8\alpha+16 &= 0 \Leftrightarrow (\alpha-4)^2=0 \Leftrightarrow \alpha=4 \end{align}

Συνεπώς \(C: y^2=4x\).

β) Για την παραβολή \(C: y^2=4x\) ισχύει \(2p=4\Leftrightarrow\dfrac{p}{2}=1\), οπότε η εστία της παραβολής είναι η \(E(1,0)\) και η διευθετούσα \(\delta\) έχει εξίσωση \(x=-1\).

γ) Έστω \(M_1(x_1,y_1)\) το σημείο επαφής της εφαπτομένης \(\varepsilon_1\) με την \(C\). Αφού \(M_1\in C\) ανήκει ισχύει ότι: \(y_1^2=4x_1\) (1).

Η ζητούμενη εφαπτομένη \(\varepsilon_1\) έχει εξίσωση \(y\cdot y_1=2(x+x_1)\) και για να είναι παράλληλη στην \(\varepsilon_2:-x+2y+4=0\) θα πρέπει

$$\lambda_{\varepsilon_1}=\lambda_{\varepsilon_2}\Leftrightarrow\frac{2}{y_1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y_1=4.$$

Τότε από την (1) έχουμε: \(4^2=4x_1\Leftrightarrow x_1=4\).

Επομένως το σημείο επαφής είναι το \(M_1(4,4)\) και

$$\varepsilon_1: y\cdot 4=2(x+4)\Leftrightarrow 2y=x+4\Leftrightarrow x-2y+4=0.$$

δ) Το κέντρο του κύκλου \(C_1\) είναι η κορυφή της \(C\) δηλαδή το \(O(0,0)\).

Αφού η ευθεία \(\varepsilon_1\) εφάπτεται του κύκλου \(C_1\) για την ακτίνα \(\rho\) θα ισχύει

$$\rho=d(O,\varepsilon_1)=\frac{|0-2\cdot 0+4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$$

και επομένως η εξίσωση του \(C_1\) είναι

$$x^2+y^2=\left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{16}{5}.$$