Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 20658 | Ύλη: | 3.1 Ο Κύκλος 3.3 Η Έλλειψη |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 20658 |
| Ύλη: | 3.1 Ο Κύκλος 3.3 Η Έλλειψη |
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η έλλειψη \((c)\) με εξίσωση \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1\).
α) Να δικαιολογήσετε ότι \(\alpha = 4\), \(\beta = 2\) και \(\gamma = 2\sqrt{3}\).
(Μονάδες 08)
β) Να βρείτε τα μήκη των αξόνων και τις εστίες της έλλειψης \((c)\).
(Μονάδες 08)
γ) Να σχεδιάσετε την έλλειψη \((c)\) και τον κύκλο \(x^2 + y^2 = 16\) στο ίδιο σύστημα αξόνων.
(Μονάδες 09)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η εξίσωση της έλλειψης \((c)\) είναι της μορφής \(\dfrac{x^2}{\beta^2} + \dfrac{y^2}{\alpha^2} = 1\).
Έτσι είναι \(\alpha^2 = 16 \Leftrightarrow \alpha = 4\) και \(\beta^2 = 4 \Leftrightarrow \beta = 2\).
Ακόμη είναι \(\beta = \sqrt{\alpha^2 - \gamma^2} \Leftrightarrow 2 = \sqrt{4^2 - \gamma^2} \Leftrightarrow 4 = 16 - \gamma^2 \Leftrightarrow \gamma^2 = 12 \Leftrightarrow \gamma = 2\sqrt{3}\).
β) Για τα μήκη των αξόνων έχουμε:
μήκος μεγάλου άξονα ίσο με \(2\alpha = 2 \cdot 4 = 8\),
μήκος μικρού άξονα ίσο με \(2\beta = 2 \cdot 2 = 4\).
Οι εστίες είναι τα σημεία \(E'(0,-\gamma)\), \(E(0,\gamma)\), δηλαδή τα \(E'\!\left(0,-2\sqrt{3}\right)\), \(E\!\left(0,2\sqrt{3}\right)\).
γ) Ο κύκλος \(x^2 + y^2 = 16\) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με \(\sqrt{16} = 4\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).