Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 20684 | Ύλη: | 3.1 Ο Κύκλος 3.2 Η Παραβολή |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 20684 |
| Ύλη: | 3.1 Ο Κύκλος 3.2 Η Παραβολή |
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Ένα σημείο \(A(x_A, y_A)\) της παραβολής \(C: y^2 = 4x\) με \(x_A > 0\), \(y_A > 0\), έχει την εξής ιδιότητα: η ημιευθεία \(AE\) τέμνει την διευθετούσα \((\delta)\) στο σημείο \(\Gamma\), έτσι όμως ώστε η εστία \(E\) της παραβολής \(C\), να είναι το μέσο του τμήματος \(A\Gamma\). Επίσης, από το σημείο \(A\) φέρνουμε κάθετη στην διευθετούσα \((\delta)\) και έστω \(B\) το σημείο τομής, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα.
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ABE είναι ισόπλευρο.
(Μονάδες 07)
β) Να αποδείξετε ότι \(x_A = 3\) και \(y_A = 2\sqrt{3}\).
(Μονάδες 10)
γ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου \(AB\Gamma\).
(Μονάδες 08)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Από τον ορισμό της παραβολής, έχουμε ότι \(AB = AE\). Αλλά η \(BE\) είναι διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα είναι \(BE = \dfrac{A\Gamma}{2} = EA\).
Ώστε το τρίγωνο ABE είναι ισόπλευρο.
β) Γνωρίζουμε ότι η εστία E έχει συντεταγμένες \(E\!\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)\), άρα είναι \(E(1,0)\), αφού \(2p = 4\), άρα \(p = 2\). Η διευθετούσα έχει εξίσωση \((\delta): x = -\dfrac{p}{2} = -1\), άρα η τετμημένη του σημείου \(\Gamma\) θα είναι \(-1\), δηλαδή \(x_\Gamma = -1\). Αλλά \(x_E = \dfrac{x_A + x_\Gamma}{2} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{x_A + (-1)}{2}\), άρα \(x_A = 3\).
Εναλλακτικά, θα είναι \(B(-1, y_A)\), οπότε \(AB = |x_A - (-1)| = |x_A + 1|\).
Ακόμα \(BE = \sqrt{[1-(-1)]^2 + (0 - y_A)^2} = \sqrt{4 + y_A^2}\).
\begin{align} AB^2 = BE^2 &\Leftrightarrow (x_A + 1)^2 = 4 + y_A^2 \\ &\Leftrightarrow x_A^2 + 2x_A + 1 = 4 + 4x_A \\ &\Leftrightarrow x_A^2 - 2x_A - 3 = 0 \end{align}
εξίσωση που έχει ως ρίζες τους αριθμούς \(3\) και \(-1\).
Ώστε \(x_A = 3\), αφού \(x_A > 0\).
Τότε \(y_A^2 = 12\), άρα \(y_A = 2\sqrt{3}\), αφού \(y_A > 0\).
γ) Ζητάμε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \(AB\Gamma\), το οποίο όμως είναι ορθογώνιο. Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(EA = EB = E\Gamma\), άρα το E θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου, ενώ η ακτίνα του θα είναι \(AE = AB = |3 - (-1)| = 4\).
Έτσι, ο κύκλος έχει εξίσωση \((x - 1)^2 + y^2 = 16\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).