Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 20733 | Ύλη: | 1.5. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 20733 |
| Ύλη: | 1.5. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων |
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα \(\vec{\alpha}\), \(\vec{\beta}\), με \(|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}|\) και \(\overrightarrow{AB} = \vec{\alpha} - \vec{\beta}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma} = \vec{\alpha} + \vec{\beta}\).
α) Να εκφράσετε το διάνυσμα \(\overrightarrow{B\Gamma}\) συναρτήσει του διανύσματος \(\vec{\beta}\).
(Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\Gamma}\).
(Μονάδες 10)
γ) Να αιτιολογήσετε γιατί τα διανύσματα \(\overrightarrow{AB}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma}\) είναι κάθετα.
(Μονάδες 05)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το διάνυσμα \(\overrightarrow{B\Gamma}\) μπορεί να γραφεί ως διαφορά των διανυσμάτων \(\overrightarrow{AB}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma}\), δηλαδή
$$\overrightarrow{B\Gamma} = \overrightarrow{A\Gamma} - \overrightarrow{AB}\ \ \text{ τότε }\ \ \overrightarrow{B\Gamma} = (\vec{\alpha}+\vec{\beta}) - (\vec{\alpha}-\vec{\beta}) = 2\vec{\beta}$$
β) Για να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \(\overrightarrow{AB}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma}\) αρκεί να αντικαταστήσουμε αντίστοιχα τα διανύσματα και να κάνουμε την επιμεριστική ιδιότητα.
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\Gamma} = (\vec{\alpha}-\vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha}+\vec{\beta}) = \vec{\alpha}^2 - \vec{\beta}^2 = |\vec{\alpha}|^2 - |\vec{\beta}|^2 = 0$$
γ) Επειδή το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων είναι μηδέν τα διανύσματα \(\overrightarrow{AB}\) και \(\overrightarrow{A\Gamma}\) είναι κάθετα.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).