Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Από τα δεδομένα έχουμε ότι

$$(OAM)=\frac{4}{6}$$ $$\Leftrightarrow\frac{(OA)\cdot(AM)}{2}=\frac{1\cdot(AM)}{2}=\frac{4}{6}$$ $$\Leftrightarrow(AM)=\frac{4}{3}$$

άρα \(y_M=\frac{4}{3}\), επομένως \(\text{εφ}\omega=\frac{4}{3}\). Η γωνία \(\hat{A}\) του τριγώνου ΑΟΜ είναι ορθή, επομένως για τη γωνία \(\omega=\widehat{AOM}\) ισχύει \(0<\omega<\frac{\pi}{2}\).

β) Έχουμε ότι

$$\text{ημ}^2\omega+\text{συν}^2\omega=1$$ $$\Leftrightarrow\text{εφ}^2\omega+1=\frac{1}{\text{συν}^2\omega}$$ $$\Leftrightarrow\left(\frac{4}{3}\right)^2+1=\frac{1}{\text{συν}^2\omega}$$ $$\Leftrightarrow\frac{25}{9}=\frac{1}{\text{συν}^2\omega},\ \omega\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$

άρα \(\text{συν}\omega=\frac{3}{5}\) και \(\text{σφ}\omega=\frac{1}{\text{εφ}\omega}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\). Επίσης ισχύει \(0<\omega<\frac{\pi}{2}\), άρα

$$\text{ημ}\omega=\sqrt{1-\text{συν}^2\omega}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$$

γ) Για τις τιμές που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα η συνάρτηση \(f\) γίνεται

$$f(x)=\text{ημ}^2x-5\cdot\frac{4}{5}\text{ημ}x+5\cdot\frac{3}{5}=\text{ημ}^2x-4\text{ημ}x+3.$$

Ζητάμε τις λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=0\Leftrightarrow\text{ημ}^2x-4\text{ημ}x+3=0\), η οποία είναι δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το \(\text{ημ}x\).

Θέτοντας \(\text{ημ}x=\omega\) παίρνει τη μορφή \(\omega^2-4\omega+3=0\) και έχει λύσεις \(\omega=1\) ή \(\omega=3\). Η δεύτερη από αυτές απορρίπτεται καθώς ισχύει ότι \(-1\leq\text{ημ}x\leq1\). Επομένως η εξίσωση \(f(x)=0\) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

$$\text{ημ}x=1\Leftrightarrow\text{ημ}x=\text{ημ}\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow x=2\kappa\pi+\frac{\pi}{2},\ \kappa\in\mathbb{Z}$$

Επομένως τα ζητούμενα σημεία τομής είναι όλα τα σημεία της μορφής \(\left(2\kappa\pi+\frac{\pi}{2},0\right)\), \(\kappa\in\mathbb{Z}\).