Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση της έλλειψης \(C\) με εστίες τα σημεία \(E'(-\gamma, 0)\), \(E(\gamma, 0)\), μήκος μεγάλου άξονα \(2\alpha\) και μήκος μικρού άξονα \(2\beta\), είναι:

$$\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1, \text{ όπου } \beta = \sqrt{\alpha^2 - \gamma^2}$$

Η εξίσωση της έλλειψης \(C_1: x^2 + 4y^2 = 4\) γίνεται ισοδύναμα \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\). Είναι λοιπόν:

\begin{align} \alpha^2 = 4 &\underset{\alpha>0}{\Longleftrightarrow} \alpha = 2,\quad \beta^2 = 1 \underset{\beta>0}{\Longleftrightarrow} \beta = 1 \\ &\text{και } 1 = \sqrt{4 - \gamma^2} \Leftrightarrow \gamma^2 = 3 \underset{\gamma>0}{\Longleftrightarrow} \gamma = \sqrt{3} \end{align}

Επομένως, είναι: \(2\alpha = 4\), \(2\beta = 2\), \(E'(-\sqrt{3}, 0)\), \(E(\sqrt{3}, 0)\).

Για την έλλειψη \(C_2: \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1\) είναι αντίστοιχα:

\begin{align} \alpha^2 = 16 &\underset{\alpha>0}{\Longleftrightarrow} \alpha = 4,\quad \beta^2 = 4 \underset{\beta>0}{\Longleftrightarrow} \beta = 2 \\ &\text{και } 2 = \sqrt{16 - \gamma^2} \Leftrightarrow \gamma^2 = 12 \underset{\gamma>0}{\Longleftrightarrow} \gamma = 2\sqrt{3} \end{align}

Επομένως, είναι: \(2\alpha = 8\), \(2\beta = 4\), \(E'(-2\sqrt{3}, 0)\), \(E(2\sqrt{3}, 0)\).

β) Δύο ελλείψεις όταν έχουν την ίδια εκκεντρότητα \(\varepsilon\) λέγονται όμοιες, όπου \(\varepsilon = \dfrac{\gamma}{\alpha}\).

Η έλλειψη \(C_1\) έχει εκκεντρότητα \(\varepsilon_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Η έλλειψη \(C_2\) έχει εκκεντρότητα \(\varepsilon_2 = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Επομένως, ο ισχυρισμός είναι αληθής.