Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 21163 | Ύλη: | 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 5.1 Εκθετική συνάρτηση |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 21163 |
| Ύλη: | 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 5.1 Εκθετική συνάρτηση |
| Τελευταία Ενημέρωση: 08-Οκτ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σημείο \(Α\Big(1,\dfrac{1}{2}\Big)\) το οποίο ανήκει στη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης \(f\).
α) Αν η συνάρτηση \(f\) είναι η εκθετική συνάρτηση \(a^{x},\) \(0<a<1,\) να βρείτε το \(α\).
(Μονάδες 13)
β) Για \(a=\dfrac{1}{2}\),
i) να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης \(f(x)=a^{x}\)
(Μονάδες 4)
ii) να συγκρίνετε τους αριθμούς \(α^{\sqrt{2}},a^{\sqrt{3}}\)
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
Λύση
α) Εφόσον το σημείο \(Α\) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=a^{x}\) οι συντεταγμένες του θα ικανοποιούν τον τύπο της και επειδή \(0<α\lt 1,\) θα ισχύει ότι
\(a^{1}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}.\)
β)
i) Η συνάρτηση \(f\) έχει τύπο \(f(x)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{x}\) και είναι εκθετική με βάση \(0<a<1\) οπότε θα είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση.
ii) H συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει \(\sqrt{2}<\sqrt{3},\) οπότε θα έχουμε ότι \(f(\sqrt{2})>f(\sqrt{3}) \Rightarrow a^{\sqrt{2}}>a^{\sqrt{3}}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).