Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 21218 | Ύλη: | 3.4 Η Υπερβολή |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 21218 |
| Ύλη: | 3.4 Η Υπερβολή |
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται οι υπερβολές \((C_{1}):x^{2}−y^{2}=1,(C_{2}):y^{2}−x^{2}=1\)
α) Να αποδείξετε ότι οι εστίες της \(C_{1}\) είναι οι \(Ε_{1}(\sqrt{2},0),E'_{1}(−\sqrt{2},0)\)
(Μονάδες 12)
β) Αν \(Ε_{2},Ε'_{2}\) οι εστίες της \(C_{2}\) τότε να αποδείξετε ότι το \(E_{1}E_{2}E'_{1}E'_{2}\) είναι τετράγωνο.
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
Λύση
α) Για την υπερβολή \(C_{1}\) ισχύει ότι έχει εξίσωση της μορφής \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}−\dfrac{y^{2}}{β^{2}}=1\) με \(α=β=1\)
Αν \(γ^{2}=α^{2}+β^{2}=1^{2}+1^{2}=2,\) άρα \(γ=\sqrt{2}>0,\) αφού \(γ>α=1,\)
τότε οι εστίες της θα έχουν συντεταγμένες τις
$$Ε_{1}(γ,0),E'_{1}(−γ,0) $$ $$\Rightarrow Ε_{1}(\sqrt{2},0),E'_{1}(−\sqrt{2},0)$$
β) Η υπερβολή \(C_{2}\) είναι ίδια με τη \(C_{1}\) με τις εστίες της να βρίσκονται στον άξονα \(y'y\) Δηλαδή θα ισχύει ότι :
$$Ε_{2}(0,γ),Ε'_{2}(0,−γ) $$ $$\Rightarrow E_{2}(0,\sqrt{2}),E'_{2}(0,−\sqrt{2})$$
Συνεπώς τα σημεία \(Ε_{1},Ε_{2},Ε'_{1},Ε'_{2},\) θα ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων \(Ο(0,0)\) και βρίσκονται πάνω σε αυτούς, οπότε οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου \(E_{1}E_{2}E'_{1}E'_{2}\) είναι ίσες, διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα, άρα αυτό είναι τετράγωνο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).