Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	22062	Ύλη:	2.3. Εμβαδόν Τριγώνου 3.1 Ο Κύκλος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	22062
Ύλη:	2.3. Εμβαδόν Τριγώνου 3.1 Ο Κύκλος
Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η οικογένεια κύκλων $C_λ: (x - λ)^2 + (y - λ)^2 = λ^2$, με $λ \neq 0$.

α) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα κάθε κύκλου $C_λ$, $λ \neq 0$.

(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι το κέντρο κάθε κύκλου $C_λ$ βρίσκεται στην ευθεία $y = x$.

(Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία $x = 0$ εφάπτεται σε όλους τους κύκλους $C_λ$, $λ \neq 0$. Να εξηγήσετε με συντομία ότι το ίδιο συμβαίνει και για την ευθεία $y = 0$.

(Μονάδες 6)

δ) Έστω $α \neq 0$. Να αποδείξετε ότι η ευθεία $x = α$ εφάπτεται σε έναν, και μόνο έναν, από τους κύκλους $C_λ$. Να εξηγήσετε με συντομία ότι το ίδιο συμβαίνει και για την ευθεία $y = α$.

(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Γενικά, η εξίσωση $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = ρ^2$ παριστά κύκλο με κέντρο $K(x_0, y_0)$ και ακτίνα $ρ$, αν $ρ > 0$ (ή ακτίνα $|ρ|$, αν $ρ \neq 0$). Συνεπώς, αν $λ \neq 0$, η εξίσωση $(x - λ)^2 + (y - λ)^2 = λ^2$ παριστά κύκλο με κέντρο $K(λ, λ)$ και ακτίνα $|λ|$.

β) Παρατηρούμε ότι για $x = λ$ και $y = λ$ επαληθεύεται η εξίσωση $y = x$. Επομένως, για κάθε $λ \neq 0$, το κέντρο $K(λ, λ)$ του κύκλου $C_λ$ είναι σημείο της ευθείας $y = x$.

Για τα ερωτήματα γ), δ) υπενθυμίζουμε ότι μία ευθεία $ε: Ax + By + Γ = 0$ (με $|A| + |B| \neq 0$) εφάπτεται σε ένα κύκλο με κέντρο $K(x_0, y_0)$ και ακτίνα $ρ$ αν και μόνο αν $d(K, ε) = ρ$ ή ισοδύναμα αν

$$\frac{|Ax_0 + By_0 + Γ|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = ρ \quad (1).$$

Επίσης, από το α) ερώτημα, για κάθε $λ \neq 0$, η εξίσωση $(x - λ)^2 + (y - λ)^2 = λ^2$ παριστά κύκλο $C_λ$ με κέντρο $K(λ, λ)$ και ακτίνα $|λ|$. Οπότε:

$$x_0 = λ, \quad y_0 = λ, \quad ρ = |λ|$$

γ) Θεωρούμε την ευθεία $x = 0$. Εδώ: $A = 1$, $B = 0$, $Γ = 0$. Οπότε, η σχέση $(1)$ ικανοποιείται για κάθε $λ \neq 0$, αφού:

$$\frac{|1 \cdot λ + 0 \cdot λ + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |λ| \quad \text{(ταυτότητα).}$$

Άρα, η ευθεία $x = 0$ εφάπτεται σε όλους τους κύκλους $C_λ$, $λ \neq 0$.

Για να δείξουμε ότι η ευθεία $y = 0$ εφάπτεται σε όλους τους κύκλους $C_λ$ θα μπορούσαμε να εργαστούμε όμοια με παραπάνω ή να παρατηρήσουμε ότι υπάρχει συμμετρία ως προς την $1^η$ διχοτόμο, καθώς η εξίσωση $(x - λ)^2 + (y - λ)^2 = λ^2$ παραμένει αναλλοίωτη αν εναλλάξουμε τους ρόλους των $x$ και $y$.

δ) Έστω $α \neq 0$. Θεωρούμε την ευθεία $x = α$. Εδώ: $A = 1$, $B = 0$, $Γ = -α$. Οπότε, η σχέση $(1)$ γίνεται:

\begin{align} \frac{|1 \cdot λ + 0 \cdot λ - α|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} &= |λ| \Leftrightarrow |λ - α| = |λ| \Leftrightarrow λ - α = \pm λ. \end{align}

Το θετικό πρόσημο δίνει $α = 0$ (πράγμα αδύνατο, αφού έχει υποτεθεί $α \neq 0$), ενώ το αρνητικό πρόσημο δίνει τη μοναδική αποδεκτή τιμή του $λ$ που είναι το $\dfrac{α}{2}$.

Λόγω συμμετρίας, το ίδιο συμβαίνει και για την ευθεία $y = α$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).