Τράπεζα Θεμάτων

α) Η εξίσωση \((1)\) είναι της μορφής \(y^2=2px\), όπου \(2p=4\), άρα \(p=2\). Η εξίσωση αυτής της μορφής παριστάνει τα σημεία του επιπέδου που βρίσκονται σε παραβολή με εστία στον άξονα \(x'x\). Η εστία της είναι το σημείο \(Ε\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)\) και η διευθετούσα της έχει εξίσωση \(x=-\dfrac{p}{2}\). «Τα σημεία του επιπέδου που επαληθεύουν την εξίσωση \((1)\) βρίσκονται σε μια καμπύλη που ονομάζεται παραβολή. Η εστία της, \(Ε\), έχει συντεταγμένες \(Ε(1, 0)\) και η διευθετούσα έχει εξίσωση \(x=-1\) ».

β) Η εφαπτόμενη ευθεία σε σημείο με συντεταγμένες \((x_1,y_1)\) της παραβολής έχει εξίσωση \(yy_1=p(x+x_1)\), και επειδή \(p=2\), η εφαπτόμενη \((ε)\) θα είναι \(ε:yy_1=2(x+x_1)\). Δίνεται το σημείο επαφής \(Α(1,-2)\), οπότε η εξίσωση της ευθείας \((ε)\) για \(x_1=1\) και \(y_1=-2\) θα είναι

$$-2y=2(x+1)\iff y=-x-1.$$

γ) Για να βρούμε το σημείο τομής της ευθείας \((ε)\) με τον άξονα \(x'x\) θέτουμε \(y=0\) στην εξίσωση της ευθείας \((ε)\). Οπότε, έχουμε

$$-x-1=0\iff x=-1,$$

δηλαδή το σημείο τομής της ευθείας \((ε)\) με τον άξονα \(x'x\) είναι το σημείο \((-1,0)\), το οποίο είναι σημείο της διευθετούσας, αφού η εξίσωσή της είναι η \(x=-1\).