Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 22273 Ύλη: 2.2. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 22273
Ύλη: 2.2. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση:

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\quad(1)$$

α) Να προσδιορίσετε, δικαιολογώντας την απάντησή σας, τις συντεταγμένες:
i. των σημείων που η έλλειψη τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\),
ii. των εστιών \(Ε\) και \(Ε'\) της έλλειψης.
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \(Α(0,4)\) και εφάπτονται στη καμπύλη που περιγράφει η εξίσωση \((1)\).
(Μονάδες 13)


Απάντηση Θέματος:

α) Η εξίσωση \((1)\) είναι της μορφής \(\dfrac{x^2}{α^2}+\dfrac{y^2}{β^2}=1\), όπου \(α^2= 9\) και \(β^2=4\).
i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \(x'x\) θέτουμε στην εξίσωση \((1)\) \(y=0\). Έτσι έχουμε

$$\frac{x^2}{9}=1$$ $$\iff x^2=9$$ $$\iff x=\pm3.$$

Τα σημεία τομής με τον άξονα \(x'x\) είναι, λοιπόν, τα σημεία \(Κ(3,0)\) και \(Κ'(-3,0)\). Αντίστοιχα, για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \(y'y\) θέτουμε στην εξίσωση \((1)\) \(x=0\). Έτσι έχουμε

$$\frac{y^2}{4}=1$$ $$\iff y^2=4$$ $$\iff y=\pm2.$$

Επομένως, τα σημεία τομής με τον άξονα \(y'y\) είναι τα σημεία \(B(0,2)\) και \(Β'(0,-2)\).
ii. Η εξίσωση \((1)\) παριστάνει έλλειψη με εστίες στον άξονα \(x'x\). Οπότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες \(Ε(γ,0)\) και \(Ε'(-γ,0)\), όπου \(γ=\sqrt{α^2-β^2}=\sqrt{5}\). Άρα οι εστίες της, \(Ε\) και \(Ε'\), έχουν συντεταγμένες \(Ε(\sqrt{5},0)\) και \(Ε'(-\sqrt{5},0).\)

β)

Το σημείο \(Α(0,4)\) είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης, αφού είναι σημείο στον άξονα \(y'y\) και η έλλειψη που μας δόθηκε τέμνει τον άξονα \(y'y\) στα σημεία \(Β(0,2)\) και \(Β'(0,-2)\). Θεωρούμε \(Μ(x_1, y_1)\) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης \((ε)\) στο σημείο \(Μ\) θα είναι της μορφής

$$\frac{xx_1}{9}+\frac{yy_1}{4}=1\iff 4xx_1+9yy_1=36.$$

Η ευθεία \((ε)\) διέρχεται από το σημείο \(Α(0,4)\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \(Α\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \((ε)\). Ισχύει δηλαδή

$$4\cdot0 x_1 +9\cdot 4y_1 = 36\iff y_1 = 1.$$

Επιπλέον, το σημείο \(Μ(x_1, y_1)\) είναι σημείο της έλλειψης, οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση \((1)\). Άρα ισχύει

\begin{align}&\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{4}=1\\ \iff&\frac{x_1^2}{9}+\frac{1^2}{4}=1\\ \iff&\frac{x_1^2}{9}=\frac{3}{4}\\ \iff&x_1=\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}.\end{align}

Για \(x_1=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) και \(y_1=1\), έχουμε την εφαπτόμενη \((ε_1)\) με εξίσωση

$$4\frac{3\sqrt{3}}{2}x+9y=36\iff 2\sqrt{3}+3y=12.$$

Για \(x_1=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) και \(y_1=1\), έχουμε την εφαπτόμενη \((ε_2)\) με εξίσωση

$$4\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)x+9y=36\iff -2\sqrt{3}x+3y=12.$$

Άρα, οι δύο εφαπτόμενες της έλλειψης που διέρχονται από το σημείο \(Α(0,4)\) είναι οι:

$$2\sqrt{3}+3y=12$$ $$\text{και } -2\sqrt{3}x+3y=12$$