Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Γ' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 26736 | Ύλη: | 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Γ' Λυκείου |
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 26736 |
| Ύλη: | 2.1 Η έννοια της παραγώγου 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 03-Μαρ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου \(f'\) μιας πολυωνυμικής συνάρτησης \(f\) τρίτου βαθμού η οποία είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα \([-1,5]\).
α) Αν η κορυφή της παραβολής της γραφικής παράστασης της παραγώγου \(f'\) είναι το σημείο \(Α(2,-1)\), με τη βοήθεια του σχήματος να αποδείξετε ότι η \(f\) είναι κοίλη στο \([-1,2]\) και κυρτή στο \([2,5]\).
(Μονάδες 10)
β) Ποια είναι η κλίση της \(f\) στο \(x_{0}=2\);
(Μονάδες 06)
γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι \(3f(2)-1=0\), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) στο σημείο της με τετμημένη \(x_{0}=2\).
(Μονάδες 09)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \([-1,2]\) και παραγωγίσιμη στο \((-1,2)\), αφού είναι πολυωνυμική. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f'\) παρατηρούμε ότι η \(f'\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-1,2)\). Άρα, η \(f\) είναι κοίλη στο \([-1,2]\).
Όμοια, η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα [ \(2,5]\) και παραγωγίσιμη στο \((2,5)\). Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f'\) παρατηρούμε ότι η \(f'\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((2,5)\). Άρα, η \(f\) είναι κυρτή στο \([2,5]\).
β) H κλίση της συνάρτησης \(f\) στο \(x_{0}=2\) ισούται με \(f'(2)\) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f'\) παρατηρούμε ότι \(f'(2)=-1\).
γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) στο σημείο της με τετμημένη \(x_{0}=2\) είναι:
$$y-f(2)=f'(2)(x-2)$$
Δίνεται ότι:
$$3f(2)-1=0 $$ $$\Leftrightarrow f(2)=\dfrac{1}{3}$$
Οπότε:
$$y-\dfrac{1}{3}=-1(x-2) $$ $$\Leftrightarrow y=-x+2+\dfrac{1}{3} $$ $$\Leftrightarrow y=-x+\dfrac{7}{3}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).