Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33583 | Ύλη: | 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 33583 |
| Ύλη: | 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται αριθμητική πρόοδος (\(α_{ν}\)) με \(α_{3}=10\) και \(α_{20}=61\).
α) Να αποδείξετε ότι ο πρώτος όρος της προόδου είναι \(α_{1}=4\) και η διαφορά είναι \(ω=3\).
(Μονάδες 8)
β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός \(333\) είναι όρος της προόδου.
(Μονάδες 8)
γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι \(x\) και \(y\) της παραπάνω προόδου (\(α_{ν}\)), τέτοιοι ώστε να ισχύει: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\).
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε:
$$\begin{cases} α_{3}=10 \\ α_{20}=61 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}+2ω=10 \\ α_{1}+19ω=61 \end{cases}$$ $$\overset{(-)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} 17ω=51 \\ α_{1}+2ω=10 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} ω=3 \\ α_{1}=4 \end{cases}$$
β) Έχουμε:
$$α_{ν}=333 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=333 $$ $$\Leftrightarrow 4+(ν-1)\cdot 3=333 $$ $$\Leftrightarrow (ν-1)=\dfrac{329}{3} $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{332}{3}\notin \mathbb{N}$$
Συνεπώς ο \(333\) δεν είναι όρος της προόδου.
γ) Εάν οι \(x\) και \(y\) είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου (\(α_{ν}\)) και εφόσον:
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3} $$ $$\Leftrightarrow 3x=2y < 3y $$ $$\Leftrightarrow x < y$$
θα ισχύει \(y=x+3\). Οπότε:
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{x+3}{3} $$ $$\Leftrightarrow 3x=2x+6 $$ $$\Leftrightarrow x=6$$
Όμως ο \(x=6\) δεν μπορεί να είναι όρος της παραπάνω προόδου, αφού:
$$α_{ν}=6 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=6 $$ $$\Leftrightarrow 4+(ν-1)\cdot 3=6 $$ $$\Leftrightarrow (ν-1)=\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{5}{3}\notin \mathbb{N}$$
Άρα δεν υπάρχουν διαδοχικοί όροι \(x\) και \(y\) της παραπάνω προόδου ώστε να ισχύει \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).