Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}+x-6\) έχει διακρίνουσα \(Δ=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25>0\). Το άθροισμα των ριζών του είναι \(S=\dfrac{-1}{1}=-1\) και το γινόμενό τους είναι \(P=\dfrac{-6}{1}=-6\), οπότε οι ρίζες είναι \(x_{1}=-3\) και \(x_{2}=2\). Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Οπότε η ανίσωση \(x^{2}+x-6<0\) αληθεύει για \(x\in (-3,2)\).

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$\left|x-\dfrac{1}{2}\right|>1$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x-\dfrac{1}{2}<-1 \\ ή \\ x-\dfrac{1}{2}>1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x<-\dfrac{1}{2} \\ ή \\ x>\dfrac{3}{2} \end{cases}$$

γ)

1. Ο αριθμός \(α\) ικανοποιεί τη σχέση \(\left|α-\dfrac{1}{2}\right|>1\), οπότε από το β) ερώτημα \(α<-\dfrac{1}{2}\) (απορρίπτονται οι τιμές αυτές γιατί \(α>0\), ως πλευρά) ή \(α>\dfrac{3}{2}\ \ (1)\).

   Για το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ισχύει:

   $$Ε<6 $$ $$\Leftrightarrow α\cdot (α+1)<6 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}+α-6<0$$

   Από το α) ερώτημα και επειδή \(α>0\), η ανίσωση αληθεύει για \(α\in (0,2)\ \ (2)\).

   Από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει \(\dfrac{3}{2}<α<2\).

2. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \(Π=2α+2(α+1)=4α+2\).
   Έχουμε:

   $$\dfrac{3}{2} < α < 2$$ $$\overset{(\cdot 4)}{ \Leftrightarrow }6 < 4α < 8$$ $$\overset{(+2)}{ \Leftrightarrow }8 < Π < 10$$

   Άρα η περίμετρος του ορθογωνίου κυμαίνεται μεταξύ των αριθμών \(8\) και \(10\).