Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34186 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34186 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Οι πλευρές \(x_{1}\) και \(x_{2}\) ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\), με \(λ\in (0,2)\).
α) Να βρείτε
την περίμετρο \(Π\) του ορθογωνίου.
(Μονάδες 6)το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \(λ\).
(Μονάδες 6)
β) Να δείξετε ότι \(Ε\le 1\), για κάθε \(λ\in (0,2)\).
(Μονάδες 7)
γ) Να βρείτε την τιμή του \(λ\in (0,2)\) για την οποία το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(1\). Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
(Μονάδες 6)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η εξίσωση \(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\) έχει ρίζες \(x_{1}\) και \(x_{2}\) με άθροισμα:
$$S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{-2}{1}=2$$
και γινόμενο:
$$P=x_{1}x_{2}=\dfrac{λ(2-λ)}{1}=λ(2-λ)$$
H περίμετρος \(Π\) του ορθογωνίου είναι:
$$Π=2x_{1}+2x_{2}$$ $$=2(x_{1}+x_{2})$$ $$=2\cdot 2=4$$
Tο εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \(λ\) είναι:
$$Ε=x_{1}x_{2}=λ(2-λ), λ\in (0,2)$$
β) Έχουμε:
$$Ε\le 1 $$ $$\Leftrightarrow λ(2-λ)\le 1 $$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-2λ+1\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (λ-1)^{2}\ge 0$$
που ισχύει για κάθε \(λ\in (0,2)\).
γ) Το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(1\), αν και μόνο αν:
$$Ε=1$$ $$\overset{(β)}{ \Leftrightarrow }(λ-1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=1$$
Για \(λ=1\), η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \(4\) και το εμβαδόν του \(1\), οπότε το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο πλευράς \(x_{1}=x_{2}=1\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).