Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34310 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34310 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση \(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1=0\), με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}-\{0\}\).
α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα \(Δ\) της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του \(λ\), δηλαδή σταθερή.
(Μονάδες 8)
β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης ως συνάρτηση του \(λ\).
(Μονάδες 7)
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(λ\) η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με \(2\) μονάδες.
(Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τριώνυμο \(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1\) έχει \(α=λ\), \(β=2λ-1\), \(γ=λ-1\) και διακρίνουσα:
$$Δ=(2λ-1)^{2}-4λ(λ-1)=$$ $$=4λ^{2}-4λ+1-4λ^{2}+4λ=1$$
Άρα, η διακρίνουσα \(Δ\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \(λ\).
β) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(2λ-1)\pm \sqrt{1}}{2λ}$$ $$=\dfrac{1-2λ\pm 1}{2λ}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{2-2λ}{2λ}=\dfrac{1-λ}{λ} \\ \\ \dfrac{-2λ}{2λ}=-1 \end{cases}$$
γ) Η απόσταση των ριζών \(x_{1}\), \(x_{2}\) στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι:
$$|x_{2}-x_{1}|=\left|-1-\dfrac{1-λ}{λ}\right|$$
Οπότε πρέπει:
$$\left|-1-\dfrac{1-λ}{λ}\right|=2$$ $$ \Rightarrow \left|\dfrac{-λ-1+λ}{λ}\right|=2$$ $$\Rightarrow \left|\dfrac{1}{λ}\right|=2$$ $$\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{λ}=2 \\ \\ \dfrac{1}{λ}=-2 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}λ=\dfrac{1}{2} \\ \\ λ=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).