Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34313 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34313 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 17-Απρ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται κύκλος (\(Ο\), \(R\)) διαμέτρου \(ΑΒ\), και χορδή του \(ΑΓ\) τέτοια ώστε \(\hat{ΒΑΓ}\) = \(30^0\). Στο σημείο \(Γ\) του κύκλου φέρουμε εφαπτομένη, η οποία τέμνει την προέκταση της διαμέτρου \(ΑΒ\) (προς το \(Β\)) σε σημείο \(Δ\).
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ΓΟΔ\) είναι ορθογώνιο και να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας του \(\hat{ΓΟΔ}\).
(Μονάδες 9)
β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \(\hat{ω}\).
(Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι \(ΟΔ = 2R\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η εφαπτομένη στο σημείο \(Γ\) του κύκλου, η \(ΓΔ\), είναι κάθετη στην ακτίνα \(ΟΓ\), άρα \(\hat{OΓΔ}\) = \(90^0\). Οπότε το τρίγωνο \(ΓΟΔ\) είναι ορθογώνιο.
Είναι \(ΟΑ=ΟΓ\) ως ακτίνες του κύκλου, άρα το τρίγωνο \(ΑΟΓ\) είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά \(ΑΓ\), οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του \(ΑΓ\) θα είναι ίσες, δηλαδή \(\hat{OΓΑ}\) = \(\hat{OΑΓ}\) = \(30^0\).
Στο τρίγωνο \(ΑΟΓ\) η γωνία \(\hat{ΓΟΔ}\) είναι εξωτερική του, οπότε θα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του, δηλαδή \(\hat{ΓΟΔ} = \hat{OΓΑ} + \hat{OΑΓ} = 30^0 + 30^0 = 60^0\).
β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΓΟΔ\) με ορθή τη γωνιά του \(\hat{OΓΔ}\) (από α) ερώτημα), οι οξείες γωνίες του \(\hat{ΓΟΔ}\) και \(\hat{ΓΔΟ}\) είναι συμπληρωματικές, δηλαδή ισχύει \(\hat{ΓΟΔ} + \hat{ΓΔΟ} = 90^0\). Επειδή είναι \(\hat{ΓΟΔ} = 60^0\), άρα \(\hat{ΓΔΟ} = 90^0 - 60^0\) ή \(\hat{ΓΔΟ} = 30^0\).
γ) Το τρίγωνο \(ΓΟΔ\) είναι ορθογώνιο (από α) ερώτημα) και η γωνία του \(\hat{ΓΔΟ}\) είναι ίση με \(30^0\) (από το β) ερώτημα), οπότε η απέναντι της πλευρά, δηλαδή η \(ΟΓ\) θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσάς του \(ΟΔ\), δηλαδή θα ισχύει \(ΟΓ = \dfrac{ΟΔ}{2}\) ή \(ΟΔ = 2ΟΓ = 2R\), αφού η \(ΟΓ\) είναι ακτίνα του κύκλου.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).