Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34315 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34315 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 17-Απρ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται κύκλος κέντρου \(Ο\) και ακτίνας \(4 \ cm\) και εξωτερικό του σημείο \(Ρ\). Έστω \(ΡΑ\), \(ΡΒ\) τα εφαπτόμενα τμήματα που φέρονται από το \(Ρ\), τα σημεία επαφής τους \(A\), \(B\) με τον κύκλο αντίστοιχα και τέτοια ώστε η γωνία \(\hat{ΑΡΒ}\) να ισούται με \(60^0\).
α) Να αποδείξετε ότι το μέτρο της γωνίας \(\hat{ΑΟΒ}\) είναι ίσο με \(120^0\).
(Μονάδες 7)
β) Αν \(ΡΟ\) η διακεντρική ευθεία του σημείου \(Ρ\), τότε να υπολογίσετε:
- το μέτρο της γωνίας \(\hat{ΑΡΟ}\),
(Μονάδες 9) - το μήκος του τμήματος \(ΟΡ\).
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Τα σημεία \(Α\) και \(Β\) είναι σημεία επαφής των εφαπτόμενων τμημάτων \(ΡΑ\) και \(ΡΒ\) με τον κύκλο αντίστοιχα και \(ΟΑ\), \(ΟΒ\) ακτίνες του κύκλου που αντιστοιχούν στα σημεία επαφής.
Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα από σημείο εκτός κύκλου είναι κάθετα στις ακτίνες που αντιστοιχούν στα σημεία επαφής, οπότε θα είναι \(\hat{ΟΑΡ} = 90^0\) και \(\hat{ΟΒΡ}= 90^0\).
Για τις γωνίες του τετράπλευρου \(ΡΑΟΒ\) ισχύει ότι:
\(\hat{ΑΡΒ} + \hat{ΟΒΡ} + \hat{ΑΟΒ} + \hat{ΟΑΡ} = 360^0\) ή \(60^0 + 90^0+ \hat{ΑΟΒ} + 90^0 = 360^0\)
ή \(\hat{ΑΟΒ} = 360^0 - 240^0\) ή \(\hat{ΑΟΒ} = 120^0\)
β) Φέρνουμε την διακεντρική ευθεία \(ΡΟ\).
Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική ευθεία \(ΡΟ\) διχοτομεί τη γωνία \(\hat{ΑΡΒ}\) των εφαπτόμενων τμημάτων \(ΡΑ\) και \(ΡΒ\), άρα \(\hat{ΑΡΟ} = \dfrac{Α\hat{Ρ}Β}{2} = \dfrac{60^{0}}{2} = 30^0\).
Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(\hat{ΟΑΡ} = 90^0\), οπότε το τρίγωνο \(ΟΑΡ\) είναι ορθογώνιο. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΟΑΡ\) η γωνία \(\hat{ΑΡΟ}\), λόγω του βi) ερωτήματος, ισούται με \(30^0\), οπότε η απέναντι κάθετη πλευρά \(ΑΟ\) ισούται με το μισό της υποτείνουσας \(ΡΟ\), δηλαδή \(ΟΑ = \dfrac{ΟΡ}{2}\) ή \(ΟΡ = 2 \cdot ΟΑ = 2 \cdot 4 = 8 \ cm\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).