Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34316 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34316 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται κύκλος κέντρου \(Ο\) και διάμετρος του \(ΑΒ\). Έστω \(Γ\) το μέσο ενός ημικυκλίου του, \(Δ\) τυχαίο σημείο του άλλου ημικυκλίου του και \(\widehat{AΓ B} = \widehat{AΔ B} = 90^{\circ}\). Στην προέκταση της \(ΔΒ\) προς το μέρος του \(Β\) θεωρούμε σημείο \(Ε\) ώστε \(ΒΕ = ΑΔ\).
α) Να αποδείξετε ότι:
οι γωνίες \(\widehat{Γ AΔ}\) και \(\widehat{Γ BE}\) είναι ίσες, (Μονάδες 6)
τα τρίγωνα \(ΑΔΓ\) και \(ΒΕΓ\) είναι ίσα, (Μονάδες 7)
η \(ΓΔ\) είναι κάθετη στην \(ΓΕ\). (Μονάδες 6)
β) Να αιτιολογήσετε γιατί, στην περίπτωση που το σημείο \(Δ\) είναι αντιδιαμετρικό του \(Γ\), η \(ΓΕ\) είναι εφαπτόμενη του κύκλου. (Μονάδες 6)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
i) Για τις γωνίες του τετραπλεύρου \(ΓΑΔΒ\) ισχύει ότι:
\(\widehat{Γ AΔ} + \widehat{AΔ B} + \widehat{Δ BΓ} + \widehat{AΓ B} = 360^{\circ}\) και αφού \(\widehat{AΓ B} = \widehat{AΔ B} = 90^{\circ}\) τότε \(\widehat{Γ AΔ} + \widehat{Δ BΓ} = 180^{\circ}\),
οπότε \(\widehat{Γ AΔ} = 180^{\circ} - \widehat{Δ BΓ}\) \((1)\).
Η \(\widehat{Γ BE}\) είναι παραπληρωματική γωνία της \(\widehat{Δ BΓ}\), οπότε \(\widehat{Γ BE} = 180^{\circ} - \widehat{Δ BΓ}\) \((2)\).
Από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι \(\widehat{Γ AΔ} = \widehat{Γ BE}\).
- Τα τρίγωνα \(ΑΔΓ\) και \(ΒΕΓ\) έχουν:
- \(ΑΔ = ΒΕ\), από υπόθεση
- \(ΑΓ = ΓΒ\) ως ίσες χορδές των ίσων τόξων \(ΑΓ\) και \(ΓΒ\) αφού το \(Γ\) είναι μέσο του τόξου \(ΑΒ\).
- \(\widehat{Γ AΔ} = \widehat{Γ BE}\) από α) ερώτημα
Άρα τα τρίγωνα \(ΑΔΓ\) και \(ΒΕΓ\) είναι ίσα γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (Π-Γ-Π).
ii) Επειδή τα τρίγωνα \(ΑΔΓ\) και \(ΒΕΓ\) είναι ίσα, προκύπτει ότι \(\widehat{AΓΔ} = \widehat{BΓ E}\) γιατί είναι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΑΔ\) και \(ΒΕ\) αντίστοιχα.
Τότε: \(\widehat{ΔΓ E} = \widehat{ΔΓ B} + \widehat{BΓ E} = \widehat{ΔΓ B} + \widehat{AΓΔ} = \widehat{AΓ B} = 90^{\circ}\), άρα \(ΓΔ \perp Γ E\).
β)
Όταν το \(Δ\) είναι αντιδιαμετρικό του \(Γ\), τότε από το α)iii. ερώτημα είδαμε ότι \(ΓΔ \perp Γ E\) ή \(OΓ \perp Γ E\) αφού \(ΓΔ\) διάμετρος και \(ОΓ\) ακτίνα του κύκλου. Δηλαδή για την ακτίνα \(ОΓ\) ισχύει ότι είναι κάθετη στο τμήμα \(ΓΕ\), οπότε η \(ΓΕ\) είναι εφαπτομένη του κύκλου.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).