Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34322 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34322 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Μια υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός \(x\), να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό \(λ\) που προκύπτει από τη σχέση:
$$λ=(2x+5)^{2}-8x\ \ \ \ (1)$$
α) Αν ο εισαγόμενος αριθμός \(x\) είναι ο \(-5\), ποιος είναι ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\);
(Μονάδες 4)
β) Αν ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) είναι ο \(20\), ποιος είναι ο εισαγόμενος αριθμός \(x\);
(Μονάδες 6)
γ)
Να δείξετε ότι η σχέση \((1)\) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί στη μορφή:
$$4x^{2}+12x+(25-λ)=0$$
(Μονάδες 2)
Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός \(x\), ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) δεν μπορεί να είναι ίσος με \(5\).
(Μονάδες 6)Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\).
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \(x=-5\) και βρίσκουμε:
$$λ=(2\cdot (-5)+5)^{2}-8\cdot (-5)$$ $$=(-10+5)^{2}+40$$ $$=(-5)^{2}+40$$ $$=25+40=65$$
β) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \(λ=20\) και έχουμε:
$$20=(2x+5)^{2}-8x$$
ή ισοδύναμα:
$$20=4x^{2}+20x+25-8x$$
και τελικά:
$$4x^{2}+12x+5=0$$
Το τριώνυμο \(4x^{2}+12x+5\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ=12^{2}-4\cdot 4\cdot 5$$ $$=144-80=64>0$$
και ρίζες:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-12\pm \sqrt{64}}{2\cdot 4}$$ $$=\dfrac{-12\pm 8}{8}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-12+8}{8}=-\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{-12-8}{6}=-\dfrac{5}{2} \end{cases}$$
γ)
Η σχέση \((1)\) ισοδύναμα γράφεται:
$$λ=(2x+5)^{2}-8x $$ $$\Leftrightarrow λ=4x^{2}+20x+25-8x $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+(25-λ)=0\ \ \ \ (2)$$
Για να μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) να είναι \(5\), με βάση τη σχέση \((2)\) θα πρέπει να υπάρχει \(x\) τέτοιος ώστε:
$$4x^{2}+12x+(25-5)=0 $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+20=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+3x+5=0$$
Το τριώνυμο \(x^{2}+3x+5\) έχει διακρίνουσα \(Δ=3^{2}-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0\). Άρα, η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη. Οπότε, για καμία τιμή του \(x\) δεν μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) να είναι \(5\).
Οι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός \(λ\), είναι αυτές για τις οποίες η εξίσωση \((2)\) έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν \(Δ\ge 0\) όπου \(Δ\) η διακρίνουσα του τριωνύμου \(4x^{2}+12x+(25-λ)\). Οπότε, ισοδύναμα έχουμε ότι:
$$ Δ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 12^{2}-4\cdot 4\cdot (25-λ)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 144-400+16λ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 16λ\ge 256 $$ $$\Leftrightarrow λ\ge 16$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).