Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34327 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34327 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
α) Να λύσετε την εξίσωση \(x^{2}-3x-4=0\ \ \ \ (1)\)
(Μονάδες 10)
β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί \(α\), \(β\) για τους οποίους ισχύει: \(α^{2}-3αβ-4β^{2}=0\).
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\).
(Μονάδες 7)Να αιτιολογήσετε γιατί ο \(α\) είναι τετραπλάσιος του \(β\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τριώνυμο \(x^{2}-3x-4\) έχει \(α=1\), \(β=-3\), \(γ=-4\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)$$ $$=9+16=25>0$$
Οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\) είναι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{3\pm 5}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{3+5}{2}=4 \\ \\ \dfrac{3-5}{2}=-1 \end{cases}$$
β)
Ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:
$$(\dfrac{α}{β})^{2}-3\dfrac{α}{β}-4=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{α^{2}}{β^{2}}-3\dfrac{α}{β}-4=0 $$ $$\overset{β \ne 0}{\Leftrightarrow} α^{2}-3αβ-4β^{2}=0$$
το οποίο ισχύει από την υπόθεση.
Στο ερώτημα α) βρήκαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \((1)\) είναι οι \(x_{1}=4\) και \(x_{2}=-1\).
Επίσης, στο ερώτημα (βi) δείξαμε ότι ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\). Οπότε, πρέπει:
$$\dfrac{α}{β}=4\ \ \text{ή}\ \ \dfrac{α}{β}=-1$$
Επειδή οι \(α\), \(β\) είναι ομόσημοι, η περίπτωση \(\dfrac{α}{β}=-1\) απορρίπτεται. Άρα, ισχύει:
$$\dfrac{α}{β}=4 $$ $$\Leftrightarrow α=4β$$
δηλαδή, ο \(α\) είναι τετραπλάσιος του \(β\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).