Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34330 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος 3.10. Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34330 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος 3.10. Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Απρ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα \(ABΓ\) (\(\hat{A} = 90^{\circ}\)) και \(ΔBΓ\) (\(\hat{Δ} = 90^{\circ}\)) με τις κορυφές τους \(A\) και \(Δ\) εκατέρωθεν της \(BΓ\) και το μέσο \(M\) της \(BΓ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο \(AMΔ\) είναι ισοσκελές,
(Μονάδες 9)
β) \(\widehat{AMΔ} = 2\widehat{AΓΔ}\),
(Μονάδες 9)
γ) τα \(A\), \(B\), \(Δ\) και \(Γ\) είναι σημεία ενός κύκλου, τον οποίο και να κατασκευάσετε.
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τμήμα \(AM\) είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου \(ABΓ\) που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας οπότε είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή \(AM = \dfrac{BΓ}{2}\).
Όμοια, το τμήμα \(ΔM\) είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου \(BΔΓ\), που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας οπότε είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή \(ΔM = \dfrac{BΓ}{2}\).
Άρα \(AM = ΔM\), οπότε το τρίγωνο \(AMΔ\) είναι ισοσκελές.
β) Επειδή \(AM = \dfrac{BΓ}{2} = MΓ\) \((1)\) το τρίγωνο \(AMΓ\) είναι ισοσκελές οπότε ισχύει ότι \(\widehat{MAΓ} = \widehat{MΓA}\) \((2)\).
Επειδή \(ΔM = \dfrac{BΓ}{2} = MΓ\) \((3)\) το τρίγωνο \(ΔMΓ\) είναι ισοσκελές οπότε ισχύει ότι \(\widehat{MΔΓ} = \widehat{MΓΔ}\) \((4)\).
Η γωνία \(\widehat{AMB}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(AMΓ\), άρα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, οπότε σε συνδυασμό με τη σχέση \((2)\) έχουμε:
\(\widehat{AMB} = \widehat{MAΓ} + \widehat{MΓA}\) ή \(\widehat{AMB} = 2\widehat{MΓA}\) \((4)\)
Η γωνία \(\widehat{BMΔ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(MΔΓ\), άρα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, οπότε σε συνδυασμό με τη σχέση \((4)\) έχουμε:
\(\widehat{BMΔ} = \widehat{MΔΓ} + \widehat{MΓΔ}\) ή \(\widehat{BMΔ} = 2\widehat{MΓΔ}\) \((5)\)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις \((4)\), \((5)\) και βρίσκουμε:
\(\widehat{AMB} + \widehat{BMΔ} = 2\widehat{MΓA} + 2\widehat{MΓΔ}\) ή \(\widehat{AMΔ} = 2\widehat{AΓΔ}\)
γ) Το \(M\) είναι μέσο της \(BΓ\), άρα \(MB = MΓ\). Όμως \(AM = MΓ\) από \((1)\) και \(ΔM = MΓ\) από \((3)\), άρα \(MB = MΓ = MA = AM = ΔM\). Οπότε τα σημεία \(A\), \(B\), \(Γ\) και \(Δ\) ισαπέχουν από το σημείο \(M\), άρα θα βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το μέσο \(M\) της \(BΓ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).