Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34333 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34333 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 15-Απρ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο \(ABΓ\) με \(BΓ = 2AB\). Έστω \(Δ\) το μέσο της πλευράς \(BΓ\) και \(E\) το μέσο του τμήματος \(BΔ\). Από το σημείο \(Δ\) φέρουμε ευθεία παράλληλη προς την \(AΓ\), η οποία τέμνει την πλευρά \(AB\) στο σημείο \(Z\).
Να αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα \(ABE\) και \(BZΔ\) είναι ίσα,
(Μονάδες 7)
β) η \(AΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{EAΓ}\),
(Μονάδες 9)
γ) το τετράπλευρο \(AΔEZ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Θεωρούμε τρίγωνο \(ABΓ\) με \(BΓ = 2AB\). Έστω \(Δ\) το μέσο της πλευράς \(BΓ\) και \(E\) το μέσο του τμήματος \(BΔ\). Από το σημείο \(Δ\) φέρουμε ευθεία παράλληλη προς την \(AΓ\), η οποία τέμνει την πλευρά \(AB\) στο \(Z\).
α) Στο τρίγωνο \(ABΓ\), το τμήμα \(ΔZ\) είναι παράλληλο προς την πλευρά \(AΓ\) και το \(Δ\) είναι μέσο της πλευράς \(BΓ\). Επομένως, το \(Z\) θα είναι μέσο της πλευράς \(AB\).
Τα τρίγωνα \(ABE\) και \(ΔBZ\) έχουν:
- \(AB = BΔ\), ως μισά του \(BΓ\), αφού \(BΓ = 2AB\) (υπόθεση) και \(BΓ = 2BΔ\) (το \(Δ\) είναι μέσο του \(BΓ\)).
- \(BE = BZ\), ως μισά των ίσων τμημάτων \(BΔ\) και \(AB\) αντίστοιχα.
- \(\hat{B}\) κοινή γωνία.
Επομένως, τα τρίγωνα \(ABE\) και \(ΔBZ\) είναι ίσα αφού έχουν δύο πλευρές ίσες μια προς μια και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (Π-Γ-Π).
β)
Από την ισότητα των τριγώνων \(ABE\) και \(BZΔ\) προκύπτει ότι \(\hat{A}_1 = \hat{Δ}_1\) \((1)\), ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(BE\) και \(BZ\) αντίστοιχα.
Το τρίγωνο \(BΑΔ\) είναι ισοσκελές με \(AB = BΔ\), οπότε \(\widehat{BΑΔ} = \widehat{BΔΑ}\) \((2)\), ως προσκείμενες στη βάση \(AΔ\).
Αφαιρώντας τις ισότητες \((1)\) και \((2)\) κατά μέλη προκύπτει ότι:
\(\widehat{BΑΔ} - \hat{A}_1 = \widehat{BΔΑ} - \hat{Δ}_1\) ή \(\hat{A}_2 = \hat{Δ}_2\) \((3)\).
Επίσης, \(\hat{Δ}_2 = \hat{A}_3\) \((4)\), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΔZ\) και \(AΓ\) τεμνομένων από την \(AΔ\).
Από τις σχέσεις \((3)\) και \((4)\) έχουμε \(\hat{A}_2 = \hat{A}_3\), άρα η \(AΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{EAΓ}\).
γ)
Φέρνουμε το τμήμα \(ZE\), το οποίο ενώνει τα μέσα \(E\) και \(Z\) των πλευρών \(BΔ\) και \(BA\) αντίστοιχα του τριγώνου \(BAE\), οπότε θα είναι παράλληλο στην τρίτη πλευρά του \(AΔ\). Στο τετράπλευρο \(AΔEZ\) οι πλευρές του \(AZ\), \(ΔE\) δεν είναι παράλληλες καθώς οι προεκτάσεις τους προς τα σημεία \(Z\), \(E\) αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο \(B\). Άρα το τετράπλευρο \(AΔEZ\) είναι τραπέζιο με βάσεις τις πλευρές \(AΔ\), \(ZE\).
Είναι \(\widehat{BΑΔ} = \widehat{BΔΑ}\) από σχέση \((2)\), άρα το τραπέζιο \(AΔEZ\) είναι ισοσκελές γιατί έχει τις γωνίες τις προσκείμενες στη βάση του \(AΔ\) ίσες.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).