Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34386 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 5.2. Παραλληλόγραμμα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34386 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 5.2. Παραλληλόγραμμα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) με \(ΑΒ=2ΒΓ\). Προεκτείνουμε την πλευρά \(ΑΔ\) (προς το μέρος του \(Δ\)) κατά τμήμα \(ΔΕ=ΑΔ\) και φέρουμε την \(ΒΕ\) που τέμνει τη \(ΔΓ\) στο σημείο \(Η\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο \(ΒΑΕ\) είναι ισοσκελές, (Μονάδες 7)
β) το \(ΔΕΓΒ\) είναι παραλληλόγραμμο, (Μονάδες 9)
γ) η \(ΑΗ\) είναι διάμεσος του \(ΒΑΕ\) τριγώνου. (Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω \(ΑΒΓΔ\) παραλληλόγραμμο με \(ΑΒ=2ΒΓ\), τμήμα \(ΔΕ\) στην προέκταση της \(ΑΔ\) τέτοιο ώστε \(ΔΕ=ΑΔ\) και \(Η\) το σημείο τομής της \(ΒΕ\) με την \(ΔΓ\).
α)
Επειδή το \(ΑΒΓΔ\) είναι παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, άρα \(ΑΔ = ΒΓ\). Έχουμε ότι \(ΑΕ = ΑΔ + ΔΕ\) και αφού \(ΑΔ=ΔΕ\) τότε \(ΑΕ=2ΑΔ\) και επειδή \(ΑΔ=ΒΓ\) τότε \(ΑΕ=ΑΒ\). Άρα το τρίγωνο \(ΒΑΕ\) είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις \(ΑΒ\) και \(ΑΕ\).
β)
Από το παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) είναι \(ΒΓ \parallel ΑΔ\), και στην προέκταση της \(ΑΔ\) το τμήμα \(ΔΕ\) ισούται με το \(ΑΔ\) οπότε και \(ΔΕ \parallel ΒΓ\). Άρα το τετράπλευρο \(ΔΕΓΒ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.
γ)
Επειδή το \(ΔΕΓΒ\) είναι παραλληλόγραμμο, οι διαγώνιές του \(ΓΔ\), \(ΒΕ\) διχοτομούνται στο \(Η\). Δηλαδή το \(Η\) είναι μέσο του \(ΒΕ\), άρα η \(ΑΗ\) είναι διάμεσος του τριγώνου \(ΒΑΕ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).