Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34395 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.1 Εισαγωγή 5.2. Παραλληλόγραμμα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34395 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.1 Εισαγωγή 5.2. Παραλληλόγραμμα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) και \(Ο\) το σημείο τομής των διαγωνίων του. Θεωρούμε σημείο \(Ε\) του τμήματος \(ΑΟ\) και σημείο \(Ζ\) του τμήματος \(ΟΓ\), ώστε \(ΟΕ=ΟΖ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΔΕ=ΒΖ\), (Μονάδες 12)
β) το \(ΔΕΒΖ\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω \(ΑΒΓΔ\) παραλληλόγραμμο, \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\) οι διαγώνιοί του που τέμνονται στο \(Ο\) και σημεία \(Ε\) και \(Ζ\) σημεία στα τμήματα \(ΑΟ\) και \(ΟΓ\) αντίστοιχα τέτοια ώστε \(ΟΕ = ΟΖ\).
α) Θεωρούμε τα τμήματα \(ΔΕ\) και \(ΒΖ\).
Τα τρίγωνα \(ΟΔΕ\) και \(ΟΒΖ\) έχουν:
- \(ΟΔ = ΟΒ\) (Ο κέντρο του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ)
- \(ΟΕ=ΟΖ\) (υπόθεση)
- \(\hat{Ο}_1 = \hat{Ο}_2\) (κατακορυφήν γωνίες)
Τα τρίγωνα \(ΟΔΕ\) και \(ΟΒΖ\) είναι ίσα γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (Π − Γ − Π), οπότε έχουν και \(ΔΕ = ΒΖ\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{Ο}_1\) και \(\hat{Ο}_2\) αντίστοιχα.
β) Θεωρούμε τα τμήματα \(ΔΖ\) και \(ΒΕ\).
Επειδή \(ΟΒ = ΟΔ\) και \(ΟΕ = ΟΖ\) οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου \(ΔΕΒΖ\) διχοτομούνται, οπότε το \(ΔΕΒΖ\) είναι παραλληλόγραμμο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).