Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34406 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34406 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\hat{Α} = 90°\)) με \(ΒΓ = 8\) cm. Έστω \(ΑΜ\) είναι διάμεσος του τριγώνου και \(ΜΔ \perp ΑΓ\). Αν η γωνία \(\widehat{ΑΜΓ}\) είναι ίση με \(120°\), τότε:
α) Να δείξετε ότι \(ΑΒ = 4\ cm\). (Μονάδες 12)
β) Να βρείτε το μήκος της \(ΜΔ\). (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η ΑΜ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(ΒΓ\) του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε ισχύει ότι \(ΑΜ = \dfrac{ΒΓ}{2} = ΜΓ\). Επομένως το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές με βάση την \(ΑΓ\), οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του είναι ίσες, άρα \(\hat{Γ} = \widehat{ΓΑΜ}\) \((1)\).
Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΜΓ\) ισχύει:
$$\widehat{ΑΜΓ} + \widehat{ΜΑΓ} + \hat{Γ} = 180° \text{ ή } 120° + \hat{Γ} + \hat{Γ} = 180° \text{ ή } \hat{Γ} = 30°$$
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι \(\hat{Γ} = 30°\), οπότε η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των \(30°\) θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή θα είναι \(ΑΒ = \dfrac{ΒΓ}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\).
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΜΓ\), το τμήμα \(ΜΔ\), ως κάθετο στην ΑΓ θα είναι ύψος που αντιστοιχεί στη βάση \(ΑΓ\) του τριγώνου, οπότε θα είναι και διάμεσός του. Συνεπώς το Δ είναι μέσο της \(ΑΓ\). Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το τμήμα \(ΜΔ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του, των ΒΓ και ΑΓ, άρα \(ΜΔ = \dfrac{ΑΒ}{2}= \dfrac{4}{2} =2\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).