Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34411 | Ύλη: | 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34411 |
| Ύλη: | 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ = ΑΓ\)). Στην προέκταση της \(ΒΑ\) (προς το μέρος της κορυφής \(Α\)) παίρνουμε σημείο \(Δ\) ώστε \(ΑΒ = ΑΔ\) και στην προέκταση της \(ΔΓ\) (προς το μέρος της κορυφής \(Γ\)) παίρνουμε σημείο \(Ε\) ώστε \(ΔΓ = ΓΕ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο \(ΔΓΒ\) είναι ορθογώνιο, (Μονάδες 12)
β) \(ΑΓ \parallel ΒΕ\) και \(ΑΓ = \dfrac{ΒΕ}{2}\). (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Αφού είναι \(ΑΒ=ΑΔ\), τότε το \(Α\) είναι μέσο του τμήματος \(ΔΒ\) και θα ισχύει \(ΑΒ=ΑΔ=\dfrac{ΔΒ}{2}\) \((1)\).
Αφού είναι \(ΑΒ = ΑΓ\) και \(ΑΒ=ΑΔ=\dfrac{ΔΒ}{2}\), τότε θα είναι \(ΑΒ = ΑΓ = ΑΔ =\dfrac{ΔΒ}{2}\), δηλαδή \(ΓΑ = \dfrac{ΔΒ}{2}\).
Οπότε, η \(ΓΑ\) είναι διάμεσος στην πλευρά \(ΔΒ\) του τριγώνου \(ΔΓΒ\) και ισούται με το μισό της. Άρα το τρίγωνο \(ΔΓΒ\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά \(ΔΒ\).
β) Από \((1)\) είναι \(ΑΒ = ΑΔ\) και από τα δεδομένα έχουμε \(ΔΓ = ΓΕ\), οπότε τα σημεία \(Α\) και \(Γ\) είναι μέσα των πλευρών \(ΔΒ\) και \(ΔΕ\) αντίστοιχα του τριγώνου \(ΒΔΕ\), στο οποίο τρίγωνο το τμήμα \(ΑΓ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών του \(ΔΒ\) και \(ΔΕ\), άρα θα είναι παράλληλο προς την πλευρά \(ΒΕ\) του τριγώνου και ίσο με το μισό της, δηλαδή \(ΑΓ \parallel ΒΕ\) και \(ΑΓ = \dfrac{ΒΕ}{2}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).