Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34420 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34420 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ=ΑΓ\)). Φέρουμε, εκτός του τριγώνου, τις ημιευθείες \(Αx\) και \(Αy\) τέτοιες ώστε \(Αx \perp ΑΒ\) και \(Αy \perp ΑΓ\), όπως στο σχήμα που ακολουθεί. Στις \(Αx\) και \(Αy\) θεωρούμε τα σημεία \(Δ\) και \(Ε\) αντίστοιχα, ώστε \(ΑΔ=ΑΕ\).
α) Να αποδείξετε ότι \(ΒΔ=ΓΕ\). (Μονάδες 12)
β) Αν \(Μ\) και \(Ν\) είναι τα μέσα των τμημάτων \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ΑΜΝ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
Τα τρίγωνα \(ΑΔΒ\) και \(ΑΕΓ\) έχουν:
- \(Β\hat{Α}Δ = Γ\hat{Α}Ε = 90°\) γιατί \(Αx \perp ΑΒ\) και \(Αy \perp ΑΓ\) από υπόθεση.
- \(ΑΒ = ΑΓ\) από υπόθεση.
- \(ΑΔ = ΑΕ\) από υπόθεση.
Άρα τα τρίγωνα \(ΑΔΒ\) και \(ΑΕΓ\) είναι ίσα ως ορθογώνια που έχουν δυο ομόλογες πλευρές τους (τις κάθετες) ίσες μία προς μία, οπότε ως ίσα θα έχουν ίσες και τις υποτείνουσές τους ΒΔ και ΓΕ, δηλαδή \(ΒΔ = ΓΕ\).
β)
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΔΑΒ\) το τμήμα \(ΑΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(ΒΔ\) άρα θα ισούται με το μισό της, δηλαδή είναι \(ΑΜ = \dfrac{ΒΔ}{2}\) \((1)\).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΕΑΓ\) το τμήμα \(ΑΝ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(ΕΓ\) άρα θα ισούται με το μισό της, δηλαδή είναι \(ΑΝ = \dfrac{ΓΕ}{2}\) \((2)\).
Επειδή \(ΒΔ = ΓΕ\) (από το ερώτημα α), τότε από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι \(ΑΜ = ΑΝ\), άρα το τρίγωνο \(ΑΜΝ\) είναι ισοσκελές.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).