Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34493 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34493 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Έστω δυο ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ=ΑΓ\)) και \(Α'Β'Γ'\) (\(Α'Β'=Α'Γ'\)).
α) Αν ισχύει \(ΑΒ = Α'Β'\) και \(\widehat{Α} = \widehat{Α'}\), να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) είναι ίσα. (Μονάδες 13)
β) Αν ισχύει \(ΑΓ = Α'Γ'\) και \(\widehat{Β} = \widehat{Β'}\), να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) είναι ίσα. (Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω δυο ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) με \(Α'Β'= Α'Γ'\).
α) Έστω ότι τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν \(ΑΒ = Α'Β'\) και \(\widehat{Α} = \widehat{Α'}\).
Τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν το καθένα ένα ζεύγος ίσων πλευρών τις \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(Α'Β'\), \(Α'Γ'\) αντίστοιχα. Αφού είναι \(ΑΒ = Α'Β'\) (υπόθεση) θα είναι επίσης και \(ΑΓ = Α'Γ'\). Οπότε τα τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ίσες (τις ίσες τους) και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες \(\widehat{Α}\) και \(\widehat{Α'}\) ίσες από την υπόθεση (ΠΓΠ), άρα τα τρίγωνα είναι ίσα.
β) Έστω ότι τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν \(ΑΓ = Α'Γ'\) και \(\widehat{Β} = \widehat{Β'}\).
Τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) έχουν ένα ζεύγος ίσων πλευρών τις \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(Α'Β'\), \(Α'Γ'\) αντίστοιχα. Αφού είναι \(ΑΓ = Α'Γ'\) θα είναι επίσης και \(ΑΒ = Α'Β'\).
Επίσης τα δυο τρίγωνα έχουν ένα ζεύγος ίσων γωνιών, \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\) και \(\widehat{Β'} = \widehat{Γ'}\) αντίστοιχα ως γωνίες στις βάσεις \(ΒΓ\) και \(Β'Γ'\) κάθε ισοσκελούς τριγώνου. Επειδή \(\widehat{Β} = \widehat{Β'}\), από την υπόθεση, θα είναι και \(\widehat{Γ} = \widehat{Γ'}\). Έχοντας όμως τα τρίγωνα τις δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, θα είναι ίσες και οι τρίτες γωνίες τους, δηλαδή \(\widehat{Α} = \widehat{Α'}\). Τελικά τα τρίγωνα έχουν:
- \(ΑΓ = Α'Γ'\)
- \(\widehat{Γ} = \widehat{Γ'}\)
- \(\widehat{Α} = \widehat{Α'}\)
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).