Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34495 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34495 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ<ΑΓ\) και γωνία \(\widehat{Γ} = 30^{\circ}\). Θεωρούμε το ύψος του \(ΑΔ\) και το μέσο \(Ζ\) της πλευράς \(ΑΓ\).
α) Να αποδείξετε ότι \(ΔΖ = \frac{ΑΓ}{2}\). (Μονάδες 12)
β) Προεκτείνουμε το ύψος \(ΑΔ\) (προς το \(Δ\)) κατά ίσο τμήμα \(ΔΕ\). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ΑΓΕ\) είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ<ΑΓ\) και \(\widehat{Γ}= 30^{\circ}\), \(ΑΔ\) ύψος και \(Ζ\) το μέσο της \(ΑΓ\).
α) Φέρνουμε το τμήμα \(ΔΖ\).
Αφού το \(ΑΔ\) είναι ύψος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) τότε το τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι ορθογώνιο.
Το τμήμα \(ΔΖ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΔΓ\), άρα \(ΔΖ = \frac{ΑΓ}{2}\).
β) Έστω \(ΔΕ\) η προέκταση του ύψους \(ΑΔ\) προς το \(Δ\) κατά ίσο τμήμα \(ΔΕ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΓΕ\) το \(ΓΔ\) είναι ύψος και διάμεσος στην πλευρά του \(ΑΕ\), άρα το τρίγωνο \(ΑΓΕ\) είναι ισοσκελές. Οπότε το \(ΓΔ\) θα είναι και διχοτόμος της \(Α\widehat{Γ}Ε\) και θα ισχύει \(Α\widehat{Γ}Δ = Δ\widehat{Γ}Ε = \frac{Α\widehat{Γ}Ε}{2}\) και επειδή είναι \(Α\widehat{Γ}Δ = 30^{\circ}\) θα είναι \(Α\widehat{Γ}Ε=60^{\circ}\). Επομένως το ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΓΕ\) έχει γωνία κορυφής \(60^{\circ}\), άρα είναι ισόπλευρο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).