Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34498 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.4. Ρόμβος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34498 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.4. Ρόμβος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ<ΑΓ\) και το ύψος του \(ΑΔ\). Προεκτείνουμε το \(ΑΔ\) (προς το \(Δ\)) κατά τμήμα \(ΔΕ=ΑΔ\). Έστω \(Κ\) σημείο της \(ΒΓ\) τέτοιο ώστε \(ΒΔ = ΔΚ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο \(ΑΒΚ\) είναι ισοσκελές, (Μονάδες 12)
β) το τετράπλευρο \(ΑΒΕΚ\) είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), το ύψος του \(ΑΔ\), τμήμα \(ΔΕ = ΑΔ\) στην προέκταση του \(ΑΔ\) προς το \(Δ\) και \(Κ\) σημείο της \(ΒΓ\) τέτοιο ώστε \(ΒΔ = ΔΚ\).
α) Από τα δεδομένα έχουμε ότι \(ΒΔ = ΔΚ\), οπότε το \(Δ\) είναι μέσο του \(ΒΚ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΒΚ\) το \(ΑΔ\) είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο \(ΑΒΚ\) είναι ισοσκελές.
Μια άλλη πορεία λύσης είναι να συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΚΔ\) για να δείξουμε ότι είναι ίσα και από την ισότητά τους να συμπεράνουμε ότι \(ΑΒ=ΑΚ\).
β) Φέρνουμε τα τμήματα \(ΒΕ\) και \(ΚΕ\).
Στο τετράπλευρο \(ΑΒΕΚ\) τα \(ΑΕ\) και \(ΒΚ\) είναι διαγώνιοί του, για τις οποίες ισχύει ότι \(ΑΔ = ΔΕ\) από την υπόθεση και \(ΒΔ = ΔΚ\), αφού το \(Δ\) είναι μέσο του \(ΒΚ\), και επειδή το \(ΑΔ\) είναι ύψος άρα η \(ΑΕ\) είναι κάθετη στη \(ΒΚ\). Οπότε οι διαγώνιοι \(ΑΕ\) και \(ΒΚ\) του τετραπλεύρου \(ΑΒΕΚ\) διχοτομούνται και είναι κάθετες, επομένως είναι ρόμβος.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).