Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34500 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34500 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Θωρούμε ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ=ΑΓ\)) και σημεία \(Δ\) και \(Ε\) στην ευθεία \(ΒΓ\) τέτοια, ώστε \(ΒΔ=ΓΕ\). Έστω ότι \(ΔΖ \perp ΑΒ\) και \(ΕΗ \perp ΑΓ\).
α) Να αποδείξετε ότι:
\(ΒΖ=ΓΗ\), (Μονάδες 10)
το τρίγωνο \(ΑΖΗ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7)
β) Αν \(\widehat{Α} = 50^{\circ}\), να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΖΗ\). (Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
- Τα τρίγωνα \(ΔΒΖ\) και \(ΕΗΓ\) είναι ορθογώνια και έχουν:
- \(ΒΔ = ΓΕ\), από υπόθεση
- \(Δ\widehat{Β}Ζ = Ε\widehat{Γ}Η\), ως κατακορυφήν των ίσων γωνιών \(\widehat{Β}\) και \(\widehat{Γ}\), οι οποίες είναι γωνίες προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\) της υπόθεσης.
Τα τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες μία προς μία, άρα είναι ίσα, οπότε θα έχουν και όλα τα άλλα τα στοιχεία τους ίσα. Συγκεκριμένα, \(Β\widehat{Δ}Ζ = Γ\widehat{Ε}Η\) ως τρίτες γωνίες των ίσων τριγώνων και \(ΒΖ = ΓΗ\) ως οι αντίστοιχες πλευρές τους.
- Φέρουμε το τμήμα \(ΖΗ\).
Επειδή είναι \(ΑΒ = ΑΓ\) (από υπόθεση) και \(ΒΖ = ΓΗ\) (από το αi) ερώτημα), τότε:
\(ΑΒ + ΒΖ = ΑΓ + ΓΗ\), άρα \(ΑΖ = ΑΗ\) ως αθροίσματα ίσων τμημάτων.
Άρα το τρίγωνο \(ΑΖΗ\) είναι ισοσκελές.
β) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΖΗ\) είναι ισοσκελές (από αii) ερώτημα) με βάση τη \(ΖΗ\), είναι \(\widehat{Ζ} = \widehat{Η}\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση.
Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΖΗ\) έχουμε:
$$\widehat{Α} + \widehat{Ζ} + \widehat{Η} = 180^{\circ}, \text{ ή } 50^{\circ} + 2\widehat{Ζ} = 180^{\circ}, \text{ ή } 2\widehat{Ζ} = 130^{\circ}, \text{ οπότε } \widehat{Ζ} = 65^{\circ} = \widehat{Η}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).