Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34503 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34503 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\widehat{Α} = 90^{\circ}\)) και η διχοτόμος της γωνίας του \(\widehat{Γ}\), η οποία τέμνει την πλευρά \(ΑΒ\) στο \(Δ\). Από το \(Δ\) φέρουμε τμήμα \(ΔΕ\) κάθετο στην πλευρά \(ΒΓ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα \(ΑΓΔ\) και \(ΔΓΕ\) είναι ίσα, (Μονάδες 13)
β) Το \(Γ\) ισαπέχει από τα σημεία \(Α\) και \(Ε\) και η ευθεία \(ΓΔ\) είναι μεσοκάθετος του τμήματος \(ΑΕ\). (Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\widehat{Α} = 90^{\circ}\), η διχοτόμος \(ΓΔ\) της γωνίας \(\widehat{Γ}\) και \(ΔΕ\) κάθετο τμήμα στην πλευρά \(ΒΓ\).
α) Αφού το τμήμα \(ΔΕ\) είναι κάθετο στη \(ΒΓ\) θα είναι \(Δ\widehat{Ε}Γ = 90^{\circ}\).
Τα τρίγωνα \(ΑΔΓ\) και \(ΓΔΕ\) είναι ορθογώνια και έχουν:
- \(ΓΔ\) κοινή πλευρά
- \(\widehat{Γ}_1 = \widehat{Γ}_2\), αφού \(ΓΔ\) διχοτόμος της \(\widehat{Γ}\).
Αφού τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα κοινή και μία οξεία γωνία του ενός είναι ίση με μία οξεία γωνία του άλλου, θα είναι ίσα.
β) Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΔΓ\) και \(ΓΔΕ\) είναι ίσα, θα έχουν τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Συγκεκριμένα θα είναι ίσες οι τρίτες γωνίες τους, δηλαδή \(Γ\widehat{Δ}Α = Γ\widehat{Δ}Ε\). Οπότε οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες θα είναι ίσες, δηλαδή \(ΓΑ = ΓΕ\). Συνεπώς το \(Γ\) ισαπέχει από τα σημεία \(Α\), \(Ε\).
Επίσης θα είναι \(ΔΑ = ΔΕ\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{Γ}_1\) και \(\widehat{Γ}_2\) αντίστοιχα. Συνεπώς το σημείο \(Δ\) ισαπέχει από τα \(Α\), \(Ε\).
Άρα τα σημεία \(Γ\), \(Δ\) ανήκουν στη μεσοκάθετο του \(ΑΕ\), δηλαδή η \(ΓΔ\) είναι η μεσοκάθετος του \(ΑΕ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).