Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34509 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34509 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) με \(ΑΒ \parallel ΓΔ\) και \(ΑΒ<ΓΔ\). Θεωρούμε τα σημεία \(Ε\) και \(Ζ\) πάνω στην \(ΑΒ\) έτσι ώστε \(ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ\) και έστω \(Κ\) το σημείο τομής των \(ΔΖ\) και \(ΓΕ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΔΖ = ΓΕ\), (Μονάδες 13)
β) τα τρίγωνα \(ΕΚΖ\) και \(ΔΚΓ\) είναι ισοσκελή. (Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) (\(ΑΒ \parallel ΓΔ\)), σημεία \(Ε\),\(Ζ\) πάνω στην \(ΑΒ\) τέτοια ώστε \(ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ\) και \(Κ\) το σημείο τομής των \(ΔΖ\) και \(ΓΕ\).
α) Τα τρίγωνα \(ΑΔΖ\) και \(ΕΒΓ\) έχουν:
- \(ΑΖ = ΒΕ\), διότι \(ΑΖ = ΑΕ + ΕΖ = ΖΒ + ΕΖ = ΕΒ\).
- \(ΑΔ = ΒΓ\), διότι το \(ΑΒΓΔ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο με \(ΑΒ \parallel ΔΓ\) οπότε οι μη παράλληλες πλευρές του \(ΑΔ\), \(ΒΓ\) θα είναι ίσες.
- \(\widehat{Α} = \widehat{Β}\), ως γωνίες βάσης ισοσκελούς τραπεζίου.
Άρα τα τρίγωνα \(ΑΔΖ\) και \(ΕΒΓ\) είναι ίσα γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ), οπότε έχουν ίσες και τις πλευρές που είναι απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{Α}\) και \(\widehat{Β}\), δηλαδή \(ΔΖ = ΓΕ\) \((1)\).
β) Από την ισότητα των τριγώνων \(ΑΔΖ\) και \(ΕΒΓ\), έχουμε ότι και οι γωνίες τους \(Γ\widehat{Ε}Β\) και \(Δ\widehat{Ζ}Α\) θα είναι ίσες ως αντίστοιχες των ίσων πλευρών \(ΒΓ\) και \(ΑΔ\), οπότε \(Κ\widehat{Ε}Ζ = Κ\widehat{Ζ}Ε\).
Επομένως το τρίγωνο \(ΚΕΖ\) είναι ισοσκελές και ισχύει ότι \(ΚΖ = ΚΕ\) \((2)\).
Αφαιρούμε κατά μέλη τις \((1)\), \((2)\) και έχουμε \(ΔΖ - ΚΖ = ΓΕ - ΚΕ\), δηλαδή \(ΚΔ = ΚΓ\). Οπότε το τρίγωνο \(ΔΚΓ\) είναι ισοσκελές.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).