Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34512	Ύλη:	5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34512
Ύλη:	5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ΑΒΓΔ$, του οποίου οι διαγώνιοι $ΑΓ$ και $ΔΒ$ τέμνονται στο σημείο $Ο$. Έστω $Ε$, $Ζ$, $Η$ και $Θ$ είναι τα μέσα των $ΟΔ$, $ΟΑ$, $ΟΒ$ και $ΟΓ$ αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι τετράπλευρο $ΕΖΗΘ$ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 15)

β) Αν η περίμετρος του παραλληλογράμμου $ΑΒΓΔ$ είναι $40$, να βρείτε την περίμετρο του $ΕΘΗΖ$. (Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Τα $Ε$, $Ζ$ είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο $ΟΑΔ$, άρα $ΕΖ = \frac{ΑΔ}{2}$ $(1)$.

Τα $Ζ$, $Η$ είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο $ΟΑΒ$, άρα $ΖΗ = \frac{ΑΒ}{2}$ $(2)$.

Τα $Η$, $Θ$ είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο $ΟΒΓ$, άρα $ΗΘ = \frac{ΒΓ}{2}$ $(3)$.

Τα $Ε$, $Θ$ είναι μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο $ΟΓΔ$, άρα $ΕΘ = \frac{ΓΔ}{2}$ $(4)$.

Επειδή το $ΑΒΓΔ$ είναι παραλληλόγραμμο ισχύει ότι $ΑΒ = ΓΔ$ και $ΑΔ = ΒΓ$. Τότε από τις $(1)$, $(3)$ βρίσκουμε $ΖΗ = ΕΘ$ και από τις $(2)$, $(4)$ $ΕΖ = ΘΗ$, δηλαδή στο τετράπλευρο $ΕΖΗΘ$ οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.

β) Επειδή η περίμετρος του παραλληλογράμμου $ΑΒΓΔ$ είναι $40$, ισχύει ότι:

$ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ = 40$. Τότε:

$$ΕΖ + ΖΗ + ΗΘ + ΘΕ = \frac{ΑΔ}{2} + \frac{ΑΒ}{2} + \frac{ΒΓ}{2} + \frac{ΓΔ}{2} = \frac{ΑΔ+ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).