Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34768 | Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 34768 |
| Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 08-Ιουν-2024 | |
ΘΕΜΑ 34768
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\widehat{Β} = 40^{\circ}\) και \(\widehat{Γ} = 60^{\circ}\). Επιπλέον, τα σημεία \(Δ\), \(Ε\) και \(Ζ\) είναι τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΒΓ\) και \(ΓΑ\) αντίστοιχα.
α) Να υπολογίσετε τη γωνία \(\widehat{Α}\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\). (Μονάδες 9)
β) Να αποδείξετε ότι \(ΔΕ \parallel ΑΓ\) και \(ΖΕ \parallel ΑΒ\). (Μονάδες 8)
γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου \(ΒΔΕ\). (Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), έχουμε:
$$\widehat{Α} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{Α} + 40^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}, \;\text{ άρα } \widehat{Α} = 80^{\circ}.$$
β) Το \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), οπότε ισχύει ότι \(ΔΕ \parallel ΑΓ\).
Επίσης το \(ΕΖ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), οπότε ισχύει ότι \(ΕΖ \parallel ΑΒ\).
γ) Είναι \(\widehat{ΒΔΕ} = \widehat{Α} = 80^{\circ}\), ως γωνίες εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΔΕ\) και \(ΑΓ\) που τέμνονται από την \(ΑΒ\). Ομοίως, είναι \(\widehat{ΒΕΔ} = \widehat{Γ} = 60^{\circ}\), ως γωνίες εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΔΕ\), \(ΑΓ\) που τέμνονται από την \(ΒΓ\).
Άρα οι γωνίες του τριγώνου \(ΒΔΕ\) είναι: \(\widehat{ΔΒΕ} = 40^{\circ}\), \(\widehat{ΒΔΕ} = 80^{\circ}\), \(\widehat{ΒΕΔ} = 60^{\circ}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).