Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34781	Ύλη:	3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.3. Ορθογώνιο

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34781
Ύλη:	3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.3. Ορθογώνιο
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 34781

Σε ορθογώνιο \(ΑΒΓΔ\) θεωρούμε τα μέσα \(Μ\) και \(Ν\) των πλευρών του \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) \(ΜΔ=ΜΓ\), (Μονάδες 12)

β) η ευθεία που ορίζουν τα σημεία \(Μ\) και \(Ν\) είναι μεσοκάθετος του τμήματος \(ΓΔ\). (Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Έστω \(ΑΒΓΔ\) ορθογώνιο με \(\widehat{Α} = \widehat{Β} = \widehat{Δ} = \widehat{Γ} = 90^{\circ}\), \(Μ\) και \(Ν\) τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) αντίστοιχα.

α) Φέρουμε τα τμήματα \(ΜΓ\) και \(ΜΔ\).

Τα τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΜΒΓ\) είναι ορθογώνια και έχουν:

\(ΑΔ = ΒΓ\), ως απέναντι πλευρές ορθογωνίου
\(ΑΜ = ΜΒ\), διότι το \(Μ\) είναι μέσο του \(ΑΒ\).

Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΜΒΓ\) έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία, οπότε είναι ίσα. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι και οι υποτείνουσές τους είναι ίσες, δηλαδή \(ΜΔ = ΜΓ\).

β) Έστω \(ΜΝ\) η ευθεία που ορίζουν τα σημεία \(Μ\), \(Ν\).

Το τρίγωνο \(ΜΔΓ\) είναι ισοσκελές, αφού είναι \(ΜΔ = ΜΓ\) από το α) ερώτημα, στο οποίο τρίγωνο το ευθύγραμμο τμήμα \(ΜΝ\) είναι διάμεσος, οπότε είναι και ύψος. Άρα η ευθεία \(ΜΝ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΓΔ\).

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).