Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 35030 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 35030
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023
ΘΕΜΑ 2

α) Να αποδείξετε ότι \(x^{2}+4x+5>0\), για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\).
(Μονάδες 10)

β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση:

$$Β=|x^{2}+4x+5|-|x^{2}+4x+4|$$

(Μονάδες 15)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}+4x+5\) έχει \(α=1\), \(β=4\), \(γ=5\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ=4^{2}-4\cdot 1\cdot 5$$ $$=16-20=-4 < 0$$

Επειδή \(α=1>0\), ισχύει ότι: \(x^{2}+4x+5>0\) για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\).

β) Είναι:

$$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}\ge 0$$

Τότε:

$$Β=|x^{2}+4x+5|-|x^{2}+4x+4| $$ $$\overset{(α)}{\Leftrightarrow} Β=x^{2}+4x+5-(x^{2}+4x+4) $$ $$\Leftrightarrow Β=x^{2}+4x+5-x^{2}-4x-4 $$ $$\Leftrightarrow B=1$$