Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36086 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36086 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 36086
Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\widehat{Α} = 90^{\circ}\)) με γωνία \(\widehat{Β} = 2\widehat{Γ}\) και το μέσο \(Μ\) της πλευράς του \(ΒΓ\).
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες \(\widehat{Β}\) και \(\widehat{Γ}\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\). (Μονάδες 8)
β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
γ) Να υπολογίσετε τη γωνία \(\widehat{ΑΜΓ}\). (Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\widehat{Α} = 90^{\circ}\), \(\widehat{Β} = 2\widehat{Γ}\) και \(Μ\) το μέσο της πλευράς του \(ΒΓ\).
α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, δηλαδή:
$$\widehat{Β} + \widehat{Γ} = 90^{\circ} \;\Rightarrow\; 2\widehat{Γ} + \widehat{Γ} = 90^{\circ} \;\Rightarrow\; 3\widehat{Γ} = 90^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{Γ} = 30^{\circ}$$
Από υπόθεση ισχύει \(\widehat{Β} = 2\widehat{Γ}\) άρα \(\widehat{Β} = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
β) Φέρουμε το τμήμα \(ΑΜ\).
Η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας του τριγώνου \(ΑΒ\), οπότε η \(ΑΜ\) είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή ισχύει \(ΑΜ = \dfrac{ΒΓ}{2} = ΜΓ\).
Επομένως το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές.
γ) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΜΑ = ΜΓ\) ισχύει ότι \(\widehat{ΜΑΓ} = \widehat{Γ} = 30^{\circ}\).
Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΜΓ\), βρίσκουμε:
$$\widehat{ΑΜΓ} + \widehat{ΜΑΓ} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΑΜΓ} + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΑΜΓ} = 120^{\circ}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).