Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36092	Ύλη:	5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36092
Ύλη:	5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 36092

Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $Δ$ και $Ε$ τα μέσα των πλευρών $ΑΒ$ και $ΑΓ$ αντίστοιχα, $ΑΔ=9$, $ΕΓ=10$ και $ΒΓ=30$.

α) Να υπολογίσετε:

i. το μήκος $x$ του τμήματος $ΔΕ$, (Μονάδες 8)

ii. την περίμετρο του τριγώνου $ΑΒΓ$. (Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $ΔΕΓΒ$ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)

i. Επειδή το $ΔΕ$ ενώνει τα μέσα των πλευρών $ΑΒ$, $ΑΓ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ θα είναι ίσο με το μισό της πλευράς $ΒΓ$, δηλαδή θα ισχύει ότι:

$$ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2} \;\Rightarrow\; x = \frac{30}{2} \;\Rightarrow\; x = 15$$

ii. Το $Δ$ είναι μέσο του $ΑΒ$, άρα $ΑΒ = 2ΑΔ = 2 \cdot 9 = 18$.

Αφού $Ε$ μέσο της $ΑΓ$, τότε $ΑΓ = 2ΑΕ = 2ΕΓ = 2 \cdot 10 = 20$.

Η περίμετρος του τριγώνου είναι:

$$Π = ΑΒ + ΒΓ + ΑΓ = 18 + 30 + 20 = 68$$

β) Το $ΔΕ$ ενώνει τα μέσα των πλευρών $ΑΒ$, $ΑΓ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$, οπότε θα είναι παράλληλο στην τρίτη πλευρά $ΒΓ$, δηλαδή $ΔΕ \parallel ΒΓ$.

Επίσης οι $ΒΔ$ και $ΓΕ$ δεν είναι παράλληλες, καθώς είναι μέρη πλευρών του τριγώνου $ΑΒΓ$ που τέμνονται στο $Α$. Άρα το τετράπλευρο $ΔΕΓΒ$ είναι τραπέζιο.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).